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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:27 Di 21.12.2004 | | Autor: | vinrob |
Wie beweise ich, dass jede Kreistangente senkrecht zum Berührradius ist??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Di 21.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
> Wie beweise ich, dass jede Kreistangente senkrecht zum
> Berührradius ist??
Mmh - also für mich ist das die Definition einer Kreistangente. Aber könntest du nicht deine Definition mal liefern?
MfG
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
> > Wie beweise ich, dass jede Kreistangente senkrecht zum
>
> > Berührradius ist??
>
> Mmh - also für mich ist das die Definition einer
> Kreistangente. Aber könntest du nicht deine Definition mal
> liefern?
Für mich ist das nicht die Definiton. Ich gehe mal von folgender Definiton aus:
Eine Tangente an einen Kreis, ist eine Gerade, die mit dem Kreis einen gemeinsamen Punkt hat (dies ist dann der Berührungspunkt).
Jetzt kann man Folgendes zeigen:
Hat eine Gerade g mit einem Kreis einen gemeinsamen Punkt P, und ist der Winkel [mm]\varphi[/mm] zwischen g und der Verbindung MP (M Mittelpunkt des Kreises) [mm]<90^\circ[/mm], dann ist g keine Tangente.
Das beweist man so. Ich nenne den zu P gegenüberliegenden Punkt auf dem Kreis Q, so ist PQ ein Durchmesser. Durch Q ziehe ich eine Gerade h,
im Winkel [mm]90^\circ-\varphi[/mm] zu PQ (den Winkel auf der "Seite" von PQ machen wie [mm]\varphi[/mm]). Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt C, denn sie sind nicht parallel (sonst müsste der Nebenwinkel von [mm]90^\circ-\varphi[/mm] gleich [mm]\varphi[/mm] sein). Der Innenwinkel des Dreiecks PQC muss bei C gleich [mm]90^\circ[/mm] seine (folgt aus der Winkelsumme, die anderen Winkel sind [mm]\varphi[/mm] und [mm]90^\circ-\varphi[/mm]). Der Punkt C muss auf dem Kreis liegen (das ist der Satz vom Thaleskreis). Also schneidet g den Kreis in einem weiteren Punkt C.
Daraus folt ist g eine Tangente mit Berührungspunkt P, dann steht g orthogonal auf PM.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 So 02.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> > > Wie beweise ich, dass jede Kreistangente senkrecht zum
>
> >
> > > Berührradius ist??
> >
> > Mmh - also für mich ist das die Definition einer
> > Kreistangente. Aber könntest du nicht deine Definition
> mal
> > liefern?
>
> Für mich ist das nicht die Definiton. Ich gehe mal von
> folgender Definiton aus:
> Eine Tangente an einen Kreis, ist eine Gerade, die mit dem
> Kreis einen gemeinsamen Punkt hat (dies ist dann der
> Berührungspunkt).
>
> Jetzt kann man Folgendes zeigen:
> Hat eine Gerade g mit einem Kreis einen gemeinsamen Punkt
> P, und ist der Winkel [mm]\varphi[/mm] zwischen g und der Verbindung
> MP (M Mittelpunkt des Kreises) [mm]<90^\circ[/mm], dann ist g keine
> Tangente.
Also, ich bin der Meinung, es gibt keinen solchen Punkt P. Denn jede Gerade, die durch einen Punkt P auf dem Kreisrand geht und einen Winkel [mm] \not= [/mm] 90° mit MP einschließt, ist keine Tangente, sondern eine Sekante.
Aber ich bin da nicht mehr so ganz fit auf diesem Gebiet und lasse mich gerne eines besseren belehren. Jedenfalls wüsste ich nicht, wie ich das zeichnen soll - aber beim Zeichnen mit Tangenten habe ich sowieso so meine Probleme... 
> Das beweist man so. Ich nenne den zu P gegenüberliegenden
> Punkt auf dem Kreis Q, so ist PQ ein Durchmesser. Durch Q
> ziehe ich eine Gerade h,
> im Winkel [mm]90^\circ-\varphi[/mm] zu PQ (den Winkel auf der
> "Seite" von PQ machen wie [mm]\varphi[/mm]). Die Geraden g und h
> schneiden sich in einem Punkt C, denn sie sind nicht
> parallel (sonst müsste der Nebenwinkel von [mm]90^\circ-\varphi[/mm]
> gleich [mm]\varphi[/mm] sein). Der Innenwinkel des Dreiecks PQC muss
> bei C gleich [mm]90^\circ[/mm] seine (folgt aus der Winkelsumme, die
> anderen Winkel sind [mm]\varphi[/mm] und [mm]90^\circ-\varphi[/mm]). Der
> Punkt C muss auf dem Kreis liegen (das ist der Satz vom
> Thaleskreis). Also schneidet g den Kreis in einem weiteren
> Punkt C.
Diesem Beweis kann ich leider nicht ganz folgen, weil ich nicht ganz verstehe, wie der Winkel bei Q sein soll, denn auch bei P gibt es einen Winkel, [mm] \varphi [/mm] und einen Winkel [mm] 90°-\varphi, [/mm] nämlich direkt daneben den Nebenwinkel, und bei Q müsste es doch eigentlich dann genauso sein, und nach meiner Zeichnung wären beide Geraden dann parallel. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Naja, ist ja auch nicht ganz so wichtig...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mo 03.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo!
> > > > Wie beweise ich, dass jede Kreistangente senkrecht
> zum
> >
> > >
> > > > Berührradius ist??
> > >
> > > Mmh - also für mich ist das die Definition einer
> > > Kreistangente. Aber könntest du nicht deine Definition
>
> > mal
> > > liefern?
> >
> > Für mich ist das nicht die Definiton. Ich gehe mal von
>
> > folgender Definiton aus:
> > Eine Tangente an einen Kreis, ist eine Gerade, die mit
> dem
> > Kreis einen gemeinsamen Punkt hat (dies ist dann der
> > Berührungspunkt).
> >
> > Jetzt kann man Folgendes zeigen:
> > Hat eine Gerade g mit einem Kreis einen gemeinsamen
> Punkt
> > P, und ist der Winkel [mm]\varphi[/mm] zwischen g und der
> Verbindung
> > MP (M Mittelpunkt des Kreises) [mm]<90^\circ[/mm], dann ist g
> keine
> > Tangente.
>
> Also, ich bin der Meinung, es gibt keinen solchen Punkt P.
> Denn jede Gerade, die durch einen Punkt P auf dem Kreisrand
> geht und einen Winkel [mm]\not=[/mm] 90° mit MP einschließt, ist
> keine Tangente, sondern eine Sekante.
Genau, das will ich ja zeigen, ist [mm]\varphi[/mm] kein rechter Winkel, dann ist g eine Sekante (d.h. g hat mit dem Kreis zwei gemeinsame Punkte).
> Aber ich bin da nicht mehr so ganz fit auf diesem Gebiet
> und lasse mich gerne eines besseren belehren. Jedenfalls
> wüsste ich nicht, wie ich das zeichnen soll - aber beim
> Zeichnen mit Tangenten habe ich sowieso so meine
> Probleme...
>
> > Das beweist man so. Ich nenne den zu P gegenüberliegenden
>
> > Punkt auf dem Kreis Q, so ist PQ ein Durchmesser. Durch Q
>
> > ziehe ich eine Gerade h,
> > im Winkel [mm]90^\circ-\varphi[/mm] zu PQ (den Winkel auf der
> > "Seite" von PQ machen wie [mm]\varphi[/mm]). Die Geraden g und h
>
> > schneiden sich in einem Punkt C, denn sie sind nicht
> > parallel (sonst müsste der Nebenwinkel von
> [mm]90^\circ-\varphi[/mm]
> > gleich [mm]\varphi[/mm] sein). Der Innenwinkel des Dreiecks PQC
> muss
> > bei C gleich [mm]90^\circ[/mm] seine (folgt aus der Winkelsumme,
> die
> > anderen Winkel sind [mm]\varphi[/mm] und [mm]90^\circ-\varphi[/mm]). Der
>
> > Punkt C muss auf dem Kreis liegen (das ist der Satz vom
>
> > Thaleskreis). Also schneidet g den Kreis in einem
> weiteren
> > Punkt C.
>
> Diesem Beweis kann ich leider nicht ganz folgen, weil ich
> nicht ganz verstehe, wie der Winkel bei Q sein soll, denn
> auch bei P gibt es einen Winkel, [mm]\varphi[/mm] und einen Winkel
> [mm]90°-\varphi,[/mm] nämlich direkt daneben den Nebenwinkel, und
Gemäss Definition ergänzen sich Nebenwinkel zu 180°, also müsste der Nebenwinkel von [mm]\varphi[/mm] gleich 180°-[mm]\varphi[/mm] sein. Ist [mm]\varphi[/mm] nicht 90°, dann ist er oder sein Nebenwinkel kleiner als 90°, und mit dem kleineren Winkel arbeite ich dann.
mfG Moudi
> bei Q müsste es doch eigentlich dann genauso sein, und nach
> meiner Zeichnung wären beide Geraden dann parallel.
>
>
> Naja, ist ja auch nicht ganz so wichtig...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
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