Kreissektor - Umfang minimal < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 13.06.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Ein Kreissektor habe den Inhalt A. Für welchen Radius r wird der Umfang minimal? |
Hallo!
Mir waren Extremwertaufgaben immer ein Dorn im Auge und das hat sich anscheinend bis heute nicht geändert...
die Bogenlänge ist also
b = [mm] \bruch{\alpha * 2 * r * \pi}{360°}
[/mm]
Nebenbedingung:
A = [mm] \bruch{\alpha * r^2 * \pi}{360°}
[/mm]
Der Umfgang müsste dann also
U = 2 r + b
sein. Diese Funktion muss ich also minimieren
Also U muss minimal sein bei gegebenen Flächeninhalt A
Die Nebenbedingung A = [mm] \bruch{\alpha * r^2 * \pi}{360°}
[/mm]
ist also umzuformen.
[mm] \bruch{A*360}{\alpha * \pi} [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
r = [mm] \wurzel[2]{\bruch{A*360}{\alpha * \pi}} [/mm]
da es sich um ein gleichschenkeliges dreieck handelt ist [mm] \alpha [/mm] = 60°
U = 2 * r + b
U = [mm] \wurzel[2]{\bruch{A*360}{\alpha * \pi}} [/mm] + b
= [mm] \wurzel[2]{\bruch{A*360}{\alpha * \pi}} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha * 2 * r * \pi}{360°}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{\bruch{A*360}{60 * \pi}} [/mm] + [mm] \bruch{60 * 2 * r * \pi}{360}
[/mm]
diese Funktion müsste ich dann nach r ableiten und hätte damit das Ergebnis (nach r umformen).
stimmt das soweit? irgendwie sieht die formel nicht richtig aus, da in der ableitung kein r mehr vorkommt.
[mm] \bruch{dU}{dr} [/mm] = [mm] \bruch{2 * \wurzel[2]{6 * A * \pi}}{3}
[/mm]
lg
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 13.06.2009 | | Autor: | weduwe |
> Ein Kreissektor habe den Inhalt A. Für welchen Radius r
> wird der Umfang minimal?
> Hallo!
>
> Mir waren Extremwertaufgaben immer ein Dorn im Auge und das
> hat sich anscheinend bis heute nicht geändert...
>
> die Bogenlänge ist also
> b = [mm]\bruch{\alpha * 2 * r * \pi}{360°}[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> A = [mm]\bruch{\alpha * r^2 * \pi}{360°}[/mm]
>
> Der Umfgang müsste dann also
> U = 2 r + b
> sein. Diese Funktion muss ich also minimieren
>
> Also U muss minimal sein bei gegebenen Flächeninhalt A
>
> Die Nebenbedingung A = [mm]\bruch{\alpha * r^2 * \pi}{360°}[/mm]
>
> ist also umzuformen.
>
> [mm]\bruch{A*360}{\alpha * \pi}[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> r = [mm]\wurzel[2]{\bruch{A*360}{\alpha * \pi}}[/mm]
> da es sich um ein gleichschenkeliges dreieck handelt ist
> [mm]\alpha[/mm] = 60°
>
> U = 2 * r + b
> U = [mm]\wurzel[2]{\bruch{A*360}{\alpha * \pi}}[/mm] + b
> = [mm]\wurzel[2]{\bruch{A*360}{\alpha * \pi}}[/mm] + [mm]\bruch{\alpha * 2 * r * \pi}{360°}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[2]{\bruch{A*360}{60 * \pi}}[/mm] + [mm]\bruch{60 * 2 * r * \pi}{360}[/mm]
>
> diese Funktion müsste ich dann nach r ableiten und hätte
> damit das Ergebnis (nach r umformen).
>
> stimmt das soweit? irgendwie sieht die formel nicht richtig
> aus, da in der ableitung kein r mehr vorkommt.
>
> [mm]\bruch{dU}{dr}[/mm] = [mm]\bruch{2 * \wurzel[2]{6 * A * \pi}}{3}[/mm]
>
> lg
>
>
>
> PS:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
da hast du "falsch" substituiert.
im bogenmaß:
[mm]A=\frac{r^2\cdot \alpha}{2}\to\alpha=\frac{2A}{r^2}[/mm]
damit hast du dann
[mm] U=2r+r\cdot\alpha=2r+\frac{2A}{r}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Sa 13.06.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Danke für die rasche Antwort!
also ich habe noch einmal nachgerechnet:
b = [mm] \bruch{\alpha * 2 * r * \pi}{360}
[/mm]
A = [mm] \bruch{\alpha * r^2 * \pi}{360}
[/mm]
=> [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{360 * A}{r^2 * \pi}
[/mm]
b = [mm] \bruch{\alpha * 2 * r * \pi}{360}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{360 * A}{r^2 * \pi} * 2 * r * \pi}{360}
[/mm]
= [mm] \bruch{A * 360 * 2 * r * \pi}{r^2 * \pi * 360}
[/mm]
= [mm] \bruch{2 * A}{r}
[/mm]
=> U = 2*r + [mm] \bruch{2 * A}{r}
[/mm]
[mm] \bruch{dU}{dr} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{2 * A}{r} [/mm] = 0
2 = [mm] \bruch{2 * A}{r^2}
[/mm]
[mm] r^2 [/mm] = A
=> r = [mm] \wurzel{A}
[/mm]
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