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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f_n$ [/mm] bzw. [mm] $F_n$ [/mm] die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen bzw. umbeschriebenen regelmäßigen $n$-Ecks. Mit elementargeometrischen Mitteln zeige man [mm] $f_{2n}=\sqrt{f_n\cdot F_n}$, [/mm] sowie [mm] $F_{2n}=\dfrac{2\cdot f_{2n}\cdot F_n}{f_{2n}+F_n}$. [/mm] |
Guten Tag!
Mit Geometrie hatte ich es noch nie so... Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke sehr!
Beste Grüße,
Labrinth
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 15.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne ein Dreieck eines n.Ecjs in einen kreis, dazu das Dreieck mit der tangente. halbiere die Sehne und zeichne die neuen 2 Dreiecke, dann bestimme deren Höhe und Seitenlänge mit Pythagoras.
also zuerst die Zeichnung, dann erst saage, wo du nicht weiter kommst. mach deine zeichnung in nem Zeichenprogramm oder auf papier und einscannen, dann kannst du sie als Bildanhang posten.
Die Sprüche mit "noch nie so" hindern dich nur am Denken. Pythagoras ist für niemand eine Überforderung, und eine Skizze zu machen ist immer der Anfang.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
Hallo,
ich habe nun doch einen Ansatz, aber ich vermute einen oder mehrere eingeschlichenen Fehler, die ich nicht finde. Ich verwende die Bezeichnungen aus der Skizze, welche einen Auschschnitt eines $n$-Ecks zeigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zunächst findet man die Identitäten [mm] $F_n=f_{2n}+n\cdot h\cdot [/mm] S$, sowie [mm] $f_{2n}=f_n+n\cdot h\cdot [/mm] s$, womit sich ergibt, dass [mm] $f_{2n}=\sqrt{(f_n+n\cdot h\cdot s)(F_n-n\cdot h\cdot S)}$.
[/mm]
Um die Behauptung zu zeigen, braucht man daher noch [mm] $n\cdot h\cdot s\cdot F_n=n\cdot h\cdot S\cdot f_n+n^2\cdot h^2\cdot s\cdot [/mm] S$. Dabei lässt sich [mm] $F_n$ [/mm] eliminieren durch [mm] $F_n=f_n+n\cdot h\cdot(s+S)$ [/mm] und $s$ durch [mm] $s=S-h\cdot [/mm] S$. Letzteres gilt aufgrund der Strahlensätze, denn diese ergeben [mm] $\dfrac{s}{S}=\dfrac{1-h}{1}$, [/mm] da der Radius gleich $1$ ist.
Dennoch scheitere ich hieran, deshalb vermute ich irgendwo einen Fehler, es wäre nett wenn jemand mit mir suchen könnte.
Beste Grüße,
Labrinth
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Labrinth,
ich freu mich gerqade sehr auf meinen neuen TFT-Monitor. Er wird 24 Zoll groß sein und eine Auflösung von 1920x1200 Pixeln mitbringen. Nur: ich hab ihn noch nicht. Noch steht ein oller 17-Zöller auf meinem Schreibtisch. Von daher muss ich schon ganz schön hin- und herscrollen, um dein Bild betrachten zu können.
Für alle, die sich nicht auf einen 24-Zöller oder größer freuen dürfen, aber auch bspw. für die meisten User, die vom Notebook aus hier mitarbeiten, wäre es wesentlich besser, wenn man seine Bilder vor dem Upload skaliert. Achte darauf, dass eine maximale Breite von 800px nicht überschritten wird, und jeder kommt klar.
Man kann das ja direkt vor dem Scannen einstellen, oder sonst gibt es im Internet genügend kostenlose Grafik-Tools, mit denen man bspw. Bilder verkleinern kann. Bei Interesse schreib mir eine PN, ich könnte dir zwei, drei Tipps geben.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 16.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
um es geschickt zu machen benutztman - gegem meinen Rat besser winkelfunktionen.
sei [mm] \aöpha=360/2n [/mm] also der halbe Innenwinkel deines dreiecks. dann ist (r=1 [mm] f_n=Fläche [/mm] eines Dreiecks [mm] f_n=sin\alpha*cos\alpha
[/mm]
[mm] F_n=tan\alpha
[/mm]
[mm] f_n*F_n=sin\alpha
[/mm]
[mm] f_{2n}=sin(\alpha/2)*cos(\aöpha/2)=sin(\alpha)/2
[/mm]
[mm] 2f_{2n}=\wurzel{f_n*F_n}
[/mm]
die lösung direkt, weil ich dir nen falschen tip gegeben habe.
auch F kannst du leichter mit den Winkelfunktionen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
Durch Berechnung der Dreieckssegmente eines $n$-Ecks ergeben sich die drei folgenden wichtigen Identitäten:
[mm] f_n&=n\cdot s(1-h)\\
[/mm]
[mm] F_n&=n\cdot S\\
[/mm]
[mm] f_{2n}&=f_n+n\cdot hs\,.
[/mm]
Durch Anwenden des Strahlensatzes ergibt sich ferner, dass
[mm] \[s=S(1-h)\,.\]
[/mm]
Hiermit folgt
[mm] \[f_n\cdot F_n=n^2\cdot s(1-h)\cdot S=(n\cdot s)^2\,.\]
[/mm]
Damit hat man wie behauptet
[mm] \[G(f_n,F_n)=\sqrt{(n\cdot s)^2}=n\cdot s=f_n+n\cdot hs=f_{2n}.\]
[/mm]
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
die andere Identität lässt sich ebenfalls allein durch Strahlensatzanwendung beweisen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
Hallo Sax,
Groß-F meinst du jetzt?
Daran wollte ich mich nachher setzen. Vielen Dank für den Tipp 
Beste Grüße,
Labrinth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja genau, die Gleichung $ [mm] F_{2n}=\dfrac{2\cdot f_{2n}\cdot F_n}{f_{2n}+F_n} [/mm] $
Ich habe dazu den Satz "In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten" benutzt, der eine Folgerung der Strahlensätze ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 17.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
Guten Tag!
Hierbei komme ich leider doch nicht weiter, ich habe nicht einmal wirklich eine Idee. Es wäre nett, wenn ich noch einen Tipp bekommen könnte!
Beste Grüße,
Labrinth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 17.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Schlüssel meiner Herleitung liegt darin, zu zeigen, dass EF = GB ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann folgt $ EF = [mm] \bruch{AB*CD}{AB+CD} [/mm] $ und daraus die Behauptung.
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Labrinth |
Hallo Sax!
Es tut mir leid, dass ich jetzt erst wieder reagiere, aber die letzte Zeit war wirklich stressig! Ich habe die letzten drei Tage noch einmal intensiv nachgedacht, aber ich komme einfach nicht dahinter. Die Aufgabe ist auch nicht wirklich wichtig, aber irgendwie hat mich auch der Ehrgeiz gepackt!
Mir ist weder klar, wie ich $EF=GB$ zeigen sollte, noch wie [mm] $GB=\dfrac{AB\cdot CD}{AB+CD}$ [/mm] klappen soll.
Nur wie man von da aus dann die Behauptung folgert ist mir klar, weil das auch weniger geometrisch ist 
Wenn du mir nochmal helfen könntest, das wäre nett.
Beste Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ergibt sich folgendermaßen :
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \bruch{GB}{AG}=\bruch{BM}{AM}\begin{cases} = \bruch{CM}{AM} = \bruch{CD}{AB} (1) \\ = \bruch{EM}{AM} = \bruch{EF}{AG} (2) \end{cases}
[/mm]
Somit wird EF = [mm] \bruch{AG*CD}{AB} [/mm] = [mm] \bruch{AG*CD}{GB+AG} [/mm] = [mm] \bruch{CD}{\bruch{GB}{AG}+1} [/mm] = [mm] \bruch{CD}{\bruch{CD}{AB}+1} [/mm] = [mm] \bruch{AB*CD}{CD+AB}
[/mm]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Labrinth |
Daaanke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
alternativ ergibt sich die Lösung recht schnell, wenn man die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus anwendet.
Gruß Sax.
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