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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Di 21.10.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seien A,C [mm] \in \IR, [/mm] B [mm] \in \IC [/mm] und AC < [mm] |B|^2. [/mm] Zeigen Sie:
K:={z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] Az\bar{z} [/mm] + [mm] \bar{B}z [/mm] + [mm] B\bar{z} [/mm] + C = 0}
ist eine Kreislinie oder Gerade in [mm] \IC. [/mm] Umgekehrt hat jede Kreislinie oder Gerade in [mm] \IC [/mm] die Gestalt K. |
Hallo,
ich habe einfach mal angefangen die gegebene Bedingung umzuformen mit:
z = x+yi und B = a+bi
Dann erhalte ich:
[mm] Ax^2 [/mm] + 2ax + [mm] Ay^2 [/mm] + 2by + C = 0
[mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*\bruch{a}{A}*x [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] 2*\bruch{b}{A}*y [/mm] + [mm] \bruch{C}{A} [/mm] = 0
Um das ganze jetzt auf die Gleichung einer Kreislinie [mm] [(x-x_M) [/mm] + [mm] (y-y_M) [/mm] = [mm] r^2)] [/mm] bringen zu können bleibt noch zu zeigen:
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \bruch{C}{A} [/mm] - k = [mm] (\bruch{a}{A})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{b}{A})^2
[/mm]
Wenn ich das nun umforme erhalte ich:
AC [mm] -A^2*k [/mm] = |B|
jetzt habe ich allerdings das Problem, dass ich nur gegeben habe, dass AC < [mm] |B|^2 [/mm] und nicht ohne Quadrierung.
Wie komme ich hier weiter?
Wenn mir jmd vllt meinen Fehler aufzeigen könnte oder einen Denkanstoss geben wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 21.10.2008 | | Autor: | Zerwas |
Okay hat sich erledigt .... ich habe einfach nur verpeilt, dass |B| = [mm] \wurzel{a^2 + b^2} [/mm] ist :-/ *autsch*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Di 21.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Seien A,C [mm]\in \IR,[/mm] B [mm]\in \IC[/mm] und AC < [mm]|B|^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zeigen Sie:
> K:={z [mm]\in \IC[/mm] | [mm]Az\bar{z}[/mm] + [mm]\bar{B}z[/mm] + [mm]B\bar{z}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+ C = 0}
> ist eine Kreislinie oder Gerade in [mm]\IC.[/mm] Umgekehrt hat jede
> Kreislinie oder Gerade in [mm]\IC[/mm] die Gestalt K.
> Hallo,
>
> ich habe einfach mal angefangen die gegebene Bedingung
> umzuformen mit:
> z = x+yi und B = a+bi
>
> Dann erhalte ich:
> [mm]Ax^2[/mm] + 2ax + [mm]Ay^2[/mm] + 2by + C = 0
> [mm]x^2[/mm] + [mm]2*\bruch{a}{A}*x[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]2*\bruch{b}{A}*y[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{A}[/mm] = 0
>
> Um das ganze jetzt auf die Gleichung einer Kreislinie
> [mm][(x-x_M)[/mm] + [mm](y-y_M)[/mm] = [mm]r^2)][/mm] bringen zu können bleibt noch zu
> zeigen:
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IR[/mm] : [mm]\bruch{C}{A}[/mm] - k = [mm](\bruch{a}{A})^2[/mm] +
> [mm](\bruch{b}{A})^2[/mm]
Diese Aussage versteh ich nicht.
Was du brauchst ist doch
[mm]-\bruch{C*A}{A^2} +(\bruch{a}{A})^2 + (\bruch{b}{A})^2>0[/mm]
und das ist doch direkt richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 21.10.2008 | | Autor: | Zerwas |
Ich habe mir das so überlegt:
Nehme ich dei Kreisgleichung und Multipliziere sie aus erhalte ich:
[mm] x^2 [/mm] - [mm] 2*x_M*x [/mm] + [mm] x_M^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2*y_M*y [/mm] + [mm] y_M^2 [/mm] - [mm] r^2 [/mm] = 0
wenn ich das jetzt mit meiner Gleichung von oben [ [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2\bruch{a}{A}x [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] 2\bruch{b}{A}y [/mm] + [mm] \bruch{C}{A} [/mm] = 0 ] vergleiche kann ich folgendermaßen Identifizieren:
[mm] x_M [/mm] = [mm] -\bruch{a}{A}
[/mm]
[mm] y_M [/mm] = [mm] -\bruch{b}{A}
[/mm]
[mm] \bruch{C}{A} [/mm] = [mm] x_M^2 [/mm] + [mm] y_M^2 [/mm] - [mm] r^2
[/mm]
Setzte ich jetzt ein erhalte ich:
[mm] \bruch{C}{A} [/mm] = [mm] (-\bruch{a}{A})^2 [/mm] + [mm] (-\bruch{b}{A})^2 [/mm] - k mit k [mm] \in \IR^+
[/mm]
und durch umformen bekommen ich:
k = [mm] |B|^2 [/mm] - AC
damit kann ich die Menge K dann direkt in die übliche Form bringen:
K = {z [mm] \in \IC [/mm] | (x + [mm] \bruch{a}{A})^2 [/mm] + (y + [mm] \bruch{b}{A})^2 [/mm] = [mm] \bruch{|B|^2}{A^2} [/mm] - C}
oder genauer:
K = {z [mm] \in \IC [/mm] | (Re(z) + [mm] \bruch{Re(B)}{A})^2 [/mm] + (Im(z) + [mm] \bruch{Im(B)}{A})^2 [/mm] = [mm] \bruch{|B|^2}{A^2} [/mm] - C } mit A,C [mm] \in \IR, [/mm] B [mm] \in \IC [/mm] und AC < [mm] |B|^2
[/mm]
Das sollte doch eigentlich passen oder?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 21.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh dein kompliziertes vorgehen nicht.
dein k und dein [mm] r^2 [/mm] soll wohl dasselbe sein, warum dann zur Verwirrung 2 Buchstaben?
Warum der "Vergleich" und nicht direkt die Umformung mit quadratischer Ergaenzung?
dann sind auch noch deine Gleichungen falsch:
$ [mm] x^2 [/mm] $ + $ [mm] 2\bruch{a}{A}x [/mm] $ + $ [mm] y^2 [/mm] $ + $ [mm] 2\bruch{b}{A}y [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C}{A} [/mm] $ = 0
ist umgeformt doch :
(x + $ [mm] \bruch{a}{A})^2 [/mm] $ + (y + $ [mm] \bruch{b}{A})^2 [/mm] $ [mm] =\bruch{a^2}{A^2}+ \bruch{b^2}{A^2}$ [/mm] - [mm] \bruch{C}{A} [/mm]
=$ [mm] \bruch{|B|^2-CA}{A^2} [/mm] $
das hat ich schon mal geschrieben, und du hast das nicht kommentiert.
dass [mm] |B|^2-CA\ge0 [/mm] hast du auch. =0 gibt die Geraden (warum?)
Gruss leduart
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