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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 08.04.2011 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | | Wie konstruiert man einen Kreis aus bestimmten Angaben (von Tangenten und/oder Punkten)? |
Hallo,
also es gibt mehrere Fälle von Angaben.
3 Punkte: Bestimmung des Umkreismittelpunkts
3 Tangenten: Best. d. Inkreismittelpunkts
2 Tangenten 0 Punkte: nicht sinnvoll (unendlich viele Kreise möglich)
Nun zu den Punkten, die mir Probleme bereiten:
2 Tangenten 1 Punkt, 1 Tangente 2 Punkte
Wenn einer der gegebenen Punkte der Berührpunkt der Tangente am Kreis ist, ist es klar.
Im allgemeinen Fall hab ich mir folgendes überlegt:
Ich kann beide Problem so erweitern, dass ich 2 Tangenten und 2 Punkte habe.
Die zwei Punkte sind zwei Kreisbogenpaare A,B und deren Strecken/Mittensymmetrale ist gleich der Winkelsymmetrale der beiden Tangenten t1,t2. (D.h. ich kenne die Gerade, auf der der Mittelpunkt des Kreises liegt)
Der Kreis ist nicht eindeutig - es gibt zwei mögliche Kreise.
Nun meine Frage: Wie bekomme ich aus diesen Angaben nun einen 3. Punkt am Kreis, den Mittelpunkt oder eine 3. Tangente?
Oder ist das nicht mögliche?
Ein ähnliches Problem habe ich bei gegebenen 2 Punkten und 0 Tangenten.
Weil den Mittelpunkt könnte man analytisch berechnen...
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Wie konstruiert man einen Kreis aus bestimmten Angaben (von
> Tangenten und/oder Punkten)?
> Hallo,
>
> also es gibt mehrere Fälle von Angaben.
>
> 3 Punkte: Bestimmung des Umkreismittelpunkts
>
> 3 Tangenten: Best. d. Inkreismittelpunkts
>
> 2 Tangenten 0 Punkte: nicht sinnvoll (unendlich viele
> Kreise möglich)
>
> Nun zu den Punkten, die mir Probleme bereiten:
> 2 Tangenten 1 Punkt, 1 Tangente 2 Punkte
>
> Wenn einer der gegebenen Punkte der Berührpunkt der
> Tangente am Kreis ist, ist es klar.
>
> Im allgemeinen Fall hab ich mir folgendes überlegt:
> Ich kann beide Problem so erweitern, dass ich 2 Tangenten
> und 2 Punkte habe.
> Die zwei Punkte sind zwei Kreisbogenpaare A,B und deren
> Strecken/Mittensymmetrale ist gleich der Winkelsymmetrale
> der beiden Tangenten t1,t2. (D.h. ich kenne die Gerade, auf
> der der Mittelpunkt des Kreises liegt)
> Der Kreis ist nicht eindeutig - es gibt zwei mögliche
> Kreise.
>
> Nun meine Frage: Wie bekomme ich aus diesen Angaben nun
> einen 3. Punkt am Kreis, den Mittelpunkt oder eine 3.
> Tangente?
> Oder ist das nicht mögliche?
> Ein ähnliches Problem habe ich bei gegebenen 2 Punkten
> und 0 Tangenten.
>
> Weil den Mittelpunkt könnte man analytisch berechnen...
>
> Liebe Grüße
Hallo r2d2,
deine systematische Vorgehensweise finde ich gut.
1.) Zum Fall, wo zwei Tangenten [mm] t_1 [/mm] , [mm] t_2 [/mm] und ein Punkt P
des Kreises gegeben sind:
a) falls P auf einer der Tangenten liegt, ist die Aufgabe
leicht zu lösen.
b) andernfalls liegt P in einem der 4 Sektoren, in welche
die Ebene durch [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] zerlegt wird.
Dann kann man zuerst einen beliebigen Kreis in
diesem Sektor wählen, der die Tangenten [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2
[/mm]
besitzt.
Anschließend wird dieser Kreis durch eine zentrische
Streckung mit Zentrum im Schnittpunkt von [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2
[/mm]
so abgebildet, dass er auch durch P geht. Im Allge-
meinen gibt es dazu 2 Lösungen.
2.) Falls eine Tangente t und zwei Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] gegeben
sind, kann man den Schnittpunkt S der Geraden [mm] P_1P_2 [/mm] mit
t betrachten und dann z.B. den Sekanten-Tangentensatz
anwenden, um den Berührungspunkt B der Tangente t an
den gesuchten Kreis zu bestimmen. Der Rest ist einfach.
LG Al-Chw.
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