Kreiskegel in Kugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 02.09.2007 | | Autor: | caro_leo |
| Aufgabe | | Eine Firma soll zum Weihnachtsgeschäft durchsichtige Weihnachtsbaumkugeln mit dem Radius r=6cm herstellen, in denen sich ein gefärbter gerader hohler Kreiskegel (für kleine Geschenke) mit möglichst großem Volumen befindet. Welche Höhe und welchen Radius muss dieser Kreiskegel jeweils haben und wie groß ist sein Volumen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Lösung zu dieser Aufgabe lautet (laut Mathelehrer):
[mm] V=\bruch{1}{3}(2r_{Ku}-x)^2*x, [/mm] wobei x der senkrechte Abstand vom Boden des Kegels bis zur Kugeloberfläche ist. Man ermittelt [mm] x=2r_{Ku} [/mm] (entfällt) und [mm] x=\bruch{2}{3}r_{Ku}.
[/mm]
Lösung: h=8cm; [mm] r_{Kugel}=2\wurzel{8}cm; V=\bruch{256}{3}\pi VE\approx268cm^3
[/mm]
Meine eigentliche Frage lautet nun:
1.) Wie kommt man auf die Volumensgleichung des Kegels?
2.) Was genau ist das x in der Lösung. Ich bin mir nicht sicher ob x = der Höhe des Kegels sein soll oder ob eine andere Strecke gemeint ist. Meiner Meinung nach geht das aus der Antwort nicht wirklich hervor.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Gruß,
Caroline
|
|
| |
|
> Eine Firma soll zum Weihnachtsgeschäft durchsichtige
> Weihnachtsbaumkugeln mit dem Radius r=6cm herstellen, in
> denen sich ein gefärbter gerader hohler Kreiskegel (für
> kleine Geschenke) mit möglichst großem Volumen befindet.
> Welche Höhe und welchen Radius muss dieser Kreiskegel
> jeweils haben und wie groß ist sein Volumen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Lösung zu dieser Aufgabe lautet (laut Mathelehrer):
> [mm]V=\bruch{1}{3}(2r_{Ku}-x)^2*x,[/mm]
Weshalb er den Faktor [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] drin gelassen hat, dafür aber kurzerhand [mm] $\pi$ [/mm] weglässt, ist mir ein Rätsel. Für die Maximierung des Volumens sind positive konstante Faktoren natürlich irrelevant: also hätte man sie alle weglassen können. Aber nur einen Teil der konstanten Faktoren wegzulassen stiftet nur unnötige Verwirrung.
Das Volumen eines Kegels mit Radius [mm] $r_{\text{Ke}}$ [/mm] und Höhe $h$ ist bekanntlich [mm] $V(r_{\text{Ke}},h)=\frac{\pi r_{\text{Ke}}^2 h}{3}$.
[/mm]
> Man ermittelt [mm]x=2r_{Ku}[/mm] (entfällt) und
> [mm]x=\bruch{2}{3}r_{Ku}.[/mm]
> Lösung: h=8cm; [mm]r_{Kugel}=2\wurzel{8}cm; V=\bruch{256}{3}\pi VE\approx268cm^3[/mm]
>
> Meine eigentliche Frage lautet nun:
> 1.) Wie kommt man auf die Volumensgleichung des Kegels?
> wobei x der senkrechte
> Abstand vom Boden des Kegels bis zur Kugeloberfläche ist.
Hier eine (sicher viel zu lausige) Skizze eines Schnitts durch Kugel und Kegel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weshalb er, Angesichts meines obigen doch gewiss üblichen Ansatzes [mm] $V(r_{\text{Ke}},h)=\frac{\pi r_{\text{Ke}}^2 h}{3}$ [/mm] für das Volumen des Kreiskegels, eine vergleichsweise exotische Grösse wie dieses $x$ einführen sollte, ist mir wieder ein Rätsel. Aber es handelt sich natürlich nicht um Tiefsinn. Dann ist halt einfach die Kegelhöhe [mm] $h=2r_{\text{Ku}}-x$.
[/mm]
Nun müssen wir noch eine Nebenbedingung ins Spiel bringen, die uns erlaubt, eine der beiden Variablen [mm] $r_{\text{Ke}}$ [/mm] oder $h$ (bzw. $x$) in unserem Ansatz für die Zielfunktion zu eliminieren. Dazu betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $ABC$. In diesem Dreieck ist [mm] $r_{\text{Ke}}$ [/mm] gerade die Höhe der Ecke $C$ über der Hypotenuse $AB$. Gemäss Höhensatz muss daher gelten, dass [mm] $r_{\text{Ke}}^2 [/mm] = [mm] (2r_{\text{Ku}}-x)\cdot [/mm] x$ ("Höhenquadrat gleich Produkt der Hypotenusenabschnitte") ist. Somit können wir [mm] $r_{\text{Ke}}^2$ [/mm] in unserem Ansatz [mm] $V(r_{\text{Ke}},h)=\frac{\pi r_{\text{Ke}}^2 h}{3}$ [/mm] für die Zielfunktion einfach durch das Produkt [mm] $(2r_{\text{Ku}}-x)\cdot [/mm] x$ ersetzen (und zusätzlich $h$ durch [mm] $2r_{\text{Ku}}-x$, [/mm] weil, wie gesagt, $x$ nicht die Kegelhöhe ist).
> 2.) Was genau ist das x in der Lösung. Ich bin mir nicht
> sicher ob x = der Höhe des Kegels sein soll oder ob eine
> andere Strecke gemeint ist.
Ja, es ist, blödsinnigerweise, eine andere Strecke gemeint: siehe Skizze. Diese Länge $x$ anstelle der Kegelhöhe $h$ (ganz gleich unter welchem Namen) einzuführen, war einfach keine besonders brilliante Idee.
> Meiner Meinung nach geht das
> aus der Antwort nicht wirklich hervor.
Indirekt schon. Wenn $x$ die Kegelhöhe wäre, dann würde man eine andere Formel für die Zielfunktion erhalten, nämlich
[mm]V(x)=\frac{\pi (2r_{\text{Ku}}-x)x^2}{3}[/mm]
Du siehst: in diesem Fall wird $x$ quadriert und nicht die Differenz [mm] $2r_{\text{Ku}}-x$, [/mm] wie bei der Musterlösung Deines Lehrers.
Wie auch immer, diese beiden Längen $x$ und [mm] $2r_{\text{Ku}}-x$ [/mm] sind einfach die "Hypotenusenabschnitte" die wir für die Anwendung des Höhensatzes auf das rechtwinklige Dreieck $ABC$ benutzen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
