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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 18.10.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | | Seien [mm] k_1=\{P(x,y) | x,y\in\IR, x^{2}+y^{2}=3^{2} \} [/mm] und [mm] k_2=\{P(x,y) | x,y\in\IR, x=3cos(\alpha)\wedge y=3sin(\alpha) \} [/mm] zwei Mengen, so beweise, dass sie gleich sind indem do beweist, dass jedes Element von [mm] k_1 [/mm] in [mm] k_2 [/mm] liegt und jedes element von [mm] k_2 [/mm] in [mm] k_1 [/mm] liegt. |
Hallo
Ich habe mein erstes Lineares Algebra Vorlesung besucht und dort wurde diese Aufgabe gegeben (der Prof hat gesagt wir können die für Übung durchrechnen) und da habe ich Problem, nämlich zu beweisen, dass [mm] \forall [/mm] P(x,y) [mm] \in k_2 \Rightarrow [/mm] P(x,y) [mm] \in k_1 [/mm] habe ich geschaft folgender massen:
I: [mm] x=3cos(\alpha)
[/mm]
[mm] II:y=3sin(\alpha)
[/mm]
[mm] I^{2}+II^{2}: x^{2}+y^{2}=(3cos^{2}(\alpha)+3sin^{2}(\alpha))=3^{2}*1
[/mm]
Aber ich habe keinen Ansatz wie schaffe ich es in die Andere Richtung. Dort muss ich nämlich aus einem Gleichung zwei machen und dabei irgendwie [mm] \alpha [/mm] reinbekommen und definieren glaube ich. Kann mir jemand helfen? (es wäre nett wenn es nicht die Komplete Lösung wäre sondern Denkanstoß bzw. Ideen).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]k_1=\{P(x,y) | x,y\in\IR, x^{2}+y^{2}=3^{2} \}[/mm] und
> [mm]k_2=\{P(x,y) | x,y\in\IR, x=3cos(\alpha)\wedge y=3sin(\alpha) \}[/mm]
[mm] $k_2$ [/mm] ist dann aber schlecht definiert, denn so, wie das oben steht, ist
[mm] $\alpha$ ($\in \IR$?) [/mm] als "Parameter" aufzufassen, da es nicht in der
Mengenklammer (nochmal in passender Form) steht, und damit wäre
[mm] $k_2$ [/mm] einpunktig:
Deswegen:
[mm] $$k_2=\bigcup_{\alpha \in \IR}\{P(x,y) | x,y\in\IR, x=3cos(\alpha)\wedge y=3sin(\alpha) \}=\{P(x,y) | x,y\in\IR, x=3cos(\alpha)\wedge y=3sin(\alpha) \text { mit einem }\alpha \in \IR\}$$
[/mm]
[mm] $$=\{P(x,y) | x,y\in\IR, x=3cos(\alpha)\wedge y=3sin(\alpha):\;\;\alpha \in \IR \}\,,$$
[/mm]
wobei man (bei dem [mm] $\alpha$ [/mm] jeweils) anstatt [mm] $\IR$ [/mm] auch etwa [mm] $[0,2\pi)$ [/mm]
nehmen könnte, müßte das richtigerweise heißen!
> zwei Mengen, so beweise, dass sie gleich sind indem do
> beweist, dass jedes Element von [mm]k_1[/mm] in [mm]k_2[/mm] liegt und jedes
> element von [mm]k_2[/mm] in [mm]k_1[/mm] liegt.
> Hallo
> Ich habe mein erstes Lineares Algebra Vorlesung besucht
> und dort wurde diese Aufgabe gegeben (der Prof hat gesagt
> wir können die für Übung durchrechnen) und da habe ich
> Problem, nämlich zu beweisen, dass [mm]\forall[/mm] P(x,y) [mm]\in k_2 \Rightarrow[/mm]
> P(x,y) [mm]\in k_1[/mm] habe ich geschaft folgender massen:
> I: [mm]x=3cos(\alpha)[/mm]
> [mm]II:y=3sin(\alpha)[/mm]
> [mm]I^{2}+II^{2}: x^{2}+y^{2}=(3cos^{2}(\alpha)+3sin^{2}(\alpha))=3^{2}*1[/mm]
>
> Aber ich habe keinen Ansatz wie schaffe ich es in die
> Andere Richtung. Dort muss ich nämlich aus einem Gleichung
> zwei machen und dabei irgendwie [mm]\alpha[/mm] reinbekommen und
> definieren glaube ich. Kann mir jemand helfen? (es wäre
> nett wenn es nicht die Komplete Lösung wäre sondern
> Denkanstoß bzw. Ideen).
Sei $P(x,y) [mm] \in K_1\,,$ [/mm] dann folgt ja
[mm] $$x^2+y^2=3^2\,.$$
[/mm]
Hast Du Dir mal einen Kreis geometrisch veranschaulischt? [mm] $k_1$ [/mm] ist
einfach der Kreis um [mm] $P(0,0)\,$ [/mm] mit Radius 3 - jedenfalls gehören alle
Punkte dieses genannten Kreises nach Pythagoras zu [mm] $k_1$ [/mm] - und
da gab's auch noch sowas wie eine Umkehrung des Satzes von
Pythagoras...
(Was bedeutet das geometrisch - auch, wenn wir das nicht als Argument
verwenden dürfen? Na sicher sowas wie: [mm] $x/3=\sin(w)\,$ [/mm] mit einem
passenden Winkel $w [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] etwa.)
So: Und jetzt machst Du das oben halt so, dass Du einmal [mm] $w\,$ [/mm] definierst
- da brauchst Du aber ein gewisses Grundwissen. Oder vielleicht dürft Ihr
hier doch geometrisch argumentieren?
Generell: Wie man den Sinus eines gewissen Winkels (aus o.E. [mm] $[0,2\pi)$) [/mm]
an einem "beliebig großen Kreis" im [mm] $\IR^2$ [/mm] wiederfindet - und zwar mit
Vorzeichenbeachtung je nach Quadranten - kannst Du mit der Definition
des Sinus am Einheitskreis und dem Strahlensatz Dir dann schnell
überlegen. Dann hat man zwei Möglichkeiten für den Winkel. Und dann
muss man noch mit sowas wie einem Test [mm] $3*\cos(w_k)$ [/mm] ($k=1,2$)
gucken, ob man den richtigen hat... die letzte Rechnung muss passend
zu ... - was? - ... sein?
Also nochmal zusammengefasst (und da siehst Du auch die Bedeutung der
richtigen Notation und Interpretation von [mm] $k_2$):
[/mm]
Für ein Element aus $P(x,y) [mm] \in k_1$ $P(x,y)\,,$ [/mm] also mit
[mm] $x^2+y^2=3^2\,,$ [/mm] ist nachzuweisen, dass es ein [mm] $\alpha=\alpha(P(x,y))$ ($\in \IR$?) [/mm] so gibt, dass man [mm] $x=3\cos(\alpha)$ [/mm] und [mm] $y=3\sin(\alpha)$
[/mm]
schreiben kann. Das [mm] $\alpha$ [/mm] ist NICHT universell - sondern muss/darf zu
dem Punkt $P(x,y) [mm] \in k_1$ [/mm] "passend" gefunden werden!
Mit Schulgeometrie und der Schuldefinition des Sinus/Kosinus am
Einheitskreis folgt also alles, was man braucht. So, jetzt habe ich doch
schon irgendwie fast zuviel verraten. Aber ob Du's auch verstanden hast,
werden wir sehen, wenn Du (uns) das (hier) (vor-)rechnest!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Arkathor |
Hallo Marcel
Also es stand tatsächlich da [mm] \alpha\in[0°;360°) [/mm] (Ich habe's es vergessen zu schreiben, meine Schuld. Tut mir leid). Also ich habe's mir zuerst das was ich schon habe aufgeschrieben:
[mm] I:x=3cos(\alpha)
[/mm]
[mm] II:y=3sin(\alpha)
[/mm]
[mm] III:x^{2}+y^{2}=3^{2}
[/mm]
Jetzt habe ich je ein x und ein y durch I bzw. II ersetzt:
[mm] 3xcos(\alpha)+3ysin(\alpha)=3^{2} [/mm] jetzt teile ich durch 3 (durch x oder y darf ich nicht teilen, da sie o sein können
[mm] xcos(\alpha)+ysin(\alpha)=3 [/mm] und ich weiss nicht, was ich weiter tun soll. Jetzt sieht es für mich etwas richtig, da ich schon beide Winkelfunktionen drinn habe und neben ihnen auch die richtige Variable (neben Cos steht x, neben Sin y). Ich weiss, aber nicht wie ich diese Gleichung in 2 Spalte. Ich habe auch bedenken ob ich diese Gleichungen benutzen kann (sie sollen nämlich der Beweisende sein).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Fr 19.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaube ich sag nochmal dasselbe wie schon Marcel;
dass (x,y) ein rechtwinkliges Dreieck bilden mit der hypothenuse 3 ist klar aus der Umkehrung des Satzes von Pythagoras
Darin kann man dann direkt schließen x=3cos(t) y=3sint mit t alle werte zw. 0 und [mm] 2\pi
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> ich glaube ich sag nochmal dasselbe wie schon Marcel;
> dass (x,y) ein rechtwinkliges Dreieck bilden mit der
> hypothenuse 3 ist klar aus der Umkehrung des Satzes von
> Pythagoras
> Darin kann man dann direkt schließen x=3cos(t) y=3sint
> mit t alle werte zw. 0 und [mm]2\pi[/mm]
> Gruss leduart
ja, das ist die Kurzfassung. Ich erklär's vielleicht nun doch mal genauer,
auch ein wenig formaler - für Arkathor:
Sei $P(x,y) [mm] \in k_1\,,$ [/mm] es gelte also [mm] $x^2+y^2=3^2\,.$ [/mm] Dann muss $|y| [mm] \le [/mm] 3$ sein. (Warum?)
Demnach gibt es mindestens einen (im Bogenmaß gemessenen Winkel)
$w [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] so, dass [mm] $\sin(w)=y/3\,$ [/mm] ist:
Wenn man sich das genau(er) anguckt, kann man einen solchen direkt
mithilfe von [mm] $\text{arcsin}(w)\,$ [/mm] ausrechnen (und schlimmstenfalls nutzt man
dann die [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] des Sinus, um "den entsprechenden" auch im
'richtigen' Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] zu lokalisieren). Nun hat man das Problem,
dass es aber alleine für den Sinus (genau) zwei solche Winkel gibt: Wenn
man sich die Sinusdefinition am Einheitskreis anguckt, liegt das eigentlich
nur daran, dass der Einheitskreis symmetrisch zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] ist - was
man deswegen ja kennt ist sowas wie [mm] $\sin(w)=\sin(\pi-w)\,,$ [/mm] was man
auch mit Additionstheoremen nachrechnen kann.
Das heißt, der Winkel [mm] $w\,$ [/mm] ist noch nicht alleine durch [mm] $x^2+y^2=3^2\,$
[/mm]
und [mm] $\sin(w)=y/3\,$ [/mm] bestimmt: Man muss auch testen, ob [mm] $\cos(w)=x/3\,$
[/mm]
gilt: Und wenn Du das obige verstanden hast, wirst Du auch einsehen,
wenn [mm] $w_{1,2}$ [/mm] die beiden i.a. verschiedenen Winkel in [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] mit
[mm] $y/3=\sin(w_k)$ ($k=1,2\,$) [/mm] sind, dann wird [mm] $|\cos(w_k)|=|x|/3$ [/mm] gelten.
Aber nur für einen der beiden Winkel [mm] $w_j$ [/mm] ($j [mm] \in \{1,2\}$) [/mm] wird auch
[mm] $\cos(w_j)=x/3$ [/mm] gelten, für den anderen, [mm] $w_{3-j}\,,$ [/mm] wird dann
[mm] $\cos(w_{3-j})=-x/3\,$ [/mm] gelten.
In diesem Sinne kannst Du, wenn $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] sind, aus der Gleichung
[mm] $x^2+y^2=3^2$ [/mm] einen - und nur einen - Winkel $w [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] so
angeben, dass [mm] $x=\cos(w)$ [/mm] und [mm] $y=\sin(w)\,.$ [/mm] (Um $P(x,y) [mm] \in k_2$
[/mm]
einzusehen bräuchten wir die Eindeutigkeit nicht, nur die Existenz. Aber
die Existenz haben wir uns oben überlegt!)
P.S.
Wie man $w [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] mit [mm] $\alpha=\alpha(w) \in [0^\text{o},\;360^\text{o})$ [/mm] in
bijektiver Weise miteinander identifziert, sollte Dir klar sein. Falls nicht:
Das folgt aus
[mm] $$w/\pi=\frac{\alpha}{180^\text{o}}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Fr 19.10.2012 | | Autor: | chrisno |
Meine Idee:
[mm] $x^2+y^2=3^2$ [/mm] kann vorausgesetzt werden. Nimm ein beliebiges x. Zeige, dass es für dieses x ein [mm] $\alpha$ [/mm] gibt, so dass $x = 3 [mm] \cos(\alpha)$. [/mm] Zeige weiterhin, dass dann $y = [mm] 3\sin(\alpha)$, [/mm] dabei geht die Voraussetzung wieder ein. Dabei wären noch ein paar Betragsstriche zu diskutieren.
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Hallo,
Also wenn [mm] x=3cos(\alpha) [/mm] und [mm] y=3sin(\alpha), [/mm] dann ist [mm] x^2+y^2 [/mm] = [mm] 3^2*cos^2(\alpha)+3^2*sin^2(\alpha)=3^2(cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha))=3^2 [/mm] nach Additionstheoremen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:14 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich tu' mich zwar schwer damit, hier eine "Fehlermeldung" zu schreiben,
aber eigentlich machst Du ja schon einen, nämlich bezogen auf die
Frage:
> Hallo,
>
> Also wenn [mm]x=3cos(\alpha)[/mm] und [mm]y=3sin(\alpha),[/mm] dann ist
> [mm]x^2+y^2[/mm] =
> [mm]3^2*cos^2(\alpha)+3^2*sin^2(\alpha)=3^2(cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha))=3^2[/mm]
> nach Additionstheoremen.
das war ihm klar und das gilt wegen des trigonometrischen Pythagoras.
Es zeigt aber nur [mm] $k_2 \subseteq k_1\,.$ [/mm] Die Frage hier ist umgekehrter
Natur, nämlich es ist zu klären, warum [mm] $k_1 \subseteq k_2$ [/mm] gilt:
Und dazu passt Deine Antwort schlicht nicht! (Das ist der "kleine" Fehler -
denn inhaltlich steht sonst schon nichts falsches drin!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 08:14 Sa 20.10.2012 | | Autor: | ms2008de |
Hi,
Es war mir durchaus bewusst nur eine Richtung gezeigt zu haben. Deshalb ist das, was ich gezeigt hab, aber nich falsch. Nur eine Richtung eines Beweises zu zeigen, ist noch lange kein Fehler... Es sollte eben nur der eine Teil des Beweises sein, mehr nicht.
Viele Grüße
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:12 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> Es war mir durchaus bewusst nur eine Richtung gezeigt zu
> haben. Deshalb ist das, was ich gezeigt hab, aber nich
> falsch.
deswegen habe ich das in der Korrekturmitteilung auch genau so
geschrieben, wie ich es gemeint habe.
Ich zitiere jetzt einfach mal: Was wurde gemacht:
> Hallo
> Ich habe mein erstes Lineares Algebra Vorlesung besucht und dort
> wurde diese Aufgabe gegeben (der Prof hat gesagt wir können die für
> Übung durchrechnen) und da habe ich Problem, nämlich zu beweisen,
> dass $ [mm] \forall [/mm] $ P(x,y) $ [mm] \in k_2 \Rightarrow [/mm] $ P(x,y) $ [mm] \in k_1 [/mm] $ habe ich
> geschaft folgender massen:
> I: $ [mm] x=3cos(\alpha) [/mm] $
> $ [mm] II:y=3sin(\alpha) [/mm] $
> $ [mm] I^{2}+II^{2}: x^{2}+y^{2}=(3cos^{2}(\alpha)+3sin^{2}(\alpha))=3^{2}\cdot{}1 [/mm] $
(Siehe hier.)
> Nur eine Richtung eines Beweises zu zeigen, ist
> noch lange kein Fehler... Es sollte eben nur der eine Teil
> des Beweises sein, mehr nicht.
Was hast Du gemacht?
> Also wenn $ [mm] x=3cos(\alpha) [/mm] $ und $ [mm] y=3sin(\alpha), [/mm] $ dann ist $ [mm] x^2+y^2 [/mm] $ = $ [mm] 3^2\cdot{}cos^2(\alpha)+3^2\cdot{}sin^2(\alpha)=3^2(cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha))=3^2 [/mm] $
> nach Additionstheoremen.
siehe hier
Das ist genau das, was in der Ursprungsfrage eh schon behandelt wurde.
Fies gesagt: Du machst nur eine Wiederholung des bereits gezeigten.
Schaust Du nochmal in die Ausgangsfrage:
> Aber ich habe keinen Ansatz wie schaffe ich es in die Andere Richtung.
ist Deine Antwort bezogen auf diese Frage falsch.
Nochmal: Zu zeigen war [mm] $k_1=k_2\,.$ [/mm] In der Ausgangsfrage wurde
schon selbstständig gezeigt, dass [mm] $k_2 \subseteq k_1$ [/mm] gilt - dann
wurde gefragt, wie man denn nun [mm] $k_1 \subseteq k_2$ [/mm] zeige.
Bezogen auf die letzte Frage, was aber auch nur der Sinn der
Ausgangsfrage war, ist Deine Antwort falsch.
Bezogen auf den Sachverhalt, wie man denn [mm] $k_1=k_2$ [/mm] nachweist, ist
Deine Antwort auch nur eine Teilantwort: Du begründest ja nur [mm] $k_2 \subseteq k_1\,.$ [/mm]
Zudem wird nirgends erwähnt, dass damit auch nur ein Teil der Aufgabe
gelöst sei.
Aber wie gesagt: Der eigentliche Fehler ist eher ein Fehler bezogen auf
die Frage:
> Aber ich habe keinen Ansatz wie schaffe ich es in die Andere Richtung.
übersetzt: Warum gilt denn nun auch [mm] $k_1 \subseteq k_2$?
[/mm]
Mit Deiner Antwort, wie man [mm] $k_2 \subseteq k_1$ [/mm] beweist, ist die Antwort
bezogen auf diese Frage falsch!
Gruß,
Marcel
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