Kreisgleichung aus 3 Punkten < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 05.02.2009 | | Autor: | Wanne88 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie Mittelpunkt und Radius des Umkreises für das Dreieck ABC.
A(0,2;-0,2), B(1,5;5,5), C(-1,5;2,5)
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Hallo alle zusammen....
Wie zu vermuten ist, habe ich ein Problem beim Lösen dieser Aufgabe.
Mein Lösungsweg wäre, dass ich die Koordinaten der Punkte in die Kreisgleichung einsetze. Daraus erhalte ich dann ein Gleichungssystem, mit dem ich dann m1 und m2 ausrechnen kann(und zum Ende auch den Radius). Ich finde jedoch keinen Weg, wie ich das Gleichungssystem nach [mm] m_{1} [/mm] oder [mm] m_{2} [/mm] auflösen kann.
Meine drei Gleichungen sind:
I [mm] 0,04-0,4\*m_{1}+m_{1}^{2}+0,04+0,4\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}
[/mm]
II [mm] 2,25-3\*m_{1}+m_{1}^{2}+30,25-11\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}
[/mm]
III [mm] 2,25+3\*m_{1}+m_{1}^{2}+6,25-5\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, wie ich dieses Gleichungssystem nach [mm] m_{1} [/mm] oder nach [mm] m_{2} [/mm] auflösen kann.
Ich hoffe auf Hilfe.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Wanne,
> Ermitteln Sie Mittelpunkt und Radius des Umkreises für das
> Dreieck ABC.
> A(0,2;-0,2), B(1,5;5,5), C(-1,5;2,5)
>
> Wie zu vermuten ist, habe ich ein Problem beim Lösen dieser
> Aufgabe.
>
> Mein Lösungsweg wäre, dass ich die Koordinaten der Punkte
> in die Kreisgleichung einsetze. Daraus erhalte ich dann ein
> Gleichungssystem, mit dem ich dann m1 und m2 ausrechnen
> kann(und zum Ende auch den Radius). Ich finde jedoch keinen
> Weg, wie ich das Gleichungssystem nach [mm]m_{1}[/mm] oder [mm]m_{2}[/mm]
> auflösen kann.
>
>
> Meine drei Gleichungen sind:
>
>
> I [mm]0,04-0,4\*m_{1}+m_{1}^{2}+0,04+0,4\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}[/mm]
> II [mm]2,25-3\*m_{1}+m_{1}^{2}+30,25-11\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}[/mm]
> III [mm]2,25+3\*m_{1}+m_{1}^{2}+6,25-5\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}[/mm]
Wenn Du z.B. II - I und III - II rechnest, fallen die quadratischen Unbekannten alle raus und Du hast nurmehr 2 Gleichungen in den Unbekannten [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2}.
[/mm]
Die kannst Du dann sicher lösen!
mfG!
Zwerglein
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> > Ermitteln Sie Mittelpunkt und Radius des Umkreises für das
> > Dreieck ABC.
> > A(0,2;-0,2), B(1,5;5,5), C(-1,5;2,5)
> > I [mm]0,04-0,4\*m_{1}+m_{1}^{2}+0,04+0,4\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}[/mm]
> > II [mm]2,25-3\*m_{1}+m_{1}^{2}+30,25-11\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}[/mm]
> > III [mm]2,25+3\*m_{1}+m_{1}^{2}+6,25-5\*m_{2}+m_{2}^{2}=r^{2}[/mm]
>
> Wenn Du z.B. II - I und III - II rechnest, fallen die
> quadratischen Unbekannten alle raus und Du hast nurmehr 2
> Gleichungen in den Unbekannten [mm]m_{1}[/mm] und [mm]m_{2}.[/mm]
> Die kannst Du dann sicher lösen!
nur eine Bemerkung:
die so entstehenden Geradengleichungen sind natürlich
die Gleichungen der Mittelsenkrechten [mm] m_{AB} [/mm] und [mm] m_{BC},
[/mm]
die man auch verwenden würde, um den Umkreismittelpunkt
mit Zirkel und Lineal zu konstruieren !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 05.02.2009 | | Autor: | Wanne88 |
Danke für die schnelle Antwort :)
Ich hab mal dein Beispiel gerechnet.
IV=II-I [mm] 2,21+2,6\*m_{1}+30,21-11,4\*m_{2}=0
[/mm]
V=III-II [mm] 6\*m_{1}-24+6\*m_{2}=0
[/mm]
Bis hier hab ich keine Probleme, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob mein weiterer Rechenweg richtig ist.
Um [mm] m_{2} [/mm] zu eliminieren habe ich V [mm] \*1,9 [/mm] gerechnet und bekomme:
[mm] 11,4\*m_{1}-45,6+11,4\*m_{2}=0
[/mm]
Dann hab ich Gleichung IV und Gleichung V addiert und für [mm] m_{1}=\bruch{659}{700} [/mm] erhalten.
Ich glaub jedoch, dass ich irgend wo einen fehler gemacht habe, denn wenn ich meine Ergebnisse für den Mittelpunkt und die einzelnen Punkte in die Kreisformel einsetze bekomme ich immer verschiedene Radien als Ergebnis, obwohl doch immer der gleiche Radius raus kommen sollte?!
Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Wanne
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> IV=II-I [mm]2,21+2,6\*m_{1}+30,21-11,4\*m_{2}=0[/mm]
>
> V=III-II [mm]6\*m_{1}-24+6\*m_{2}=0[/mm]
>
> Bis hier hab ich keine Probleme, aber ich bin mir nicht
> ganz sicher, ob mein weiterer Rechenweg richtig ist.
> Ich glaub jedoch, dass ich irgend wo einen fehler gemacht
> habe, .....
Hallo Alexander,
Die Gleichung V sieht "schön" aus, wie man es von
Schulbuchaufgaben gewohnt ist, die Gleichung IV nicht.
Ich würde darum die Gleichung IV und ihre Entstehung
genau nachprüfen, insbesondere auch, ob die Kreis-
Gleichungen korrekt aufgestellt waren.
Sicher würde auch die schon angesprochene Zeichnung
mit Zirkel und Lineal bei der Fehlersuche helfen !
Die Fehlersuche selber überlasse ich dir.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 05.02.2009 | | Autor: | Wanne88 |
Vielen Dank für die Hilfe :)
Dann werd ich jetzt mal schauen, wo sich der Fehlerteufel versteckt hat.
Wanne
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Do 05.02.2009 | | Autor: | weduwe |
> Danke für die schnelle Antwort :)
>
> Ich hab mal dein Beispiel gerechnet.
>
> IV=II-I [mm]2,21+2,6\*m_{1}+30,21-11,4\*m_{2}=0[/mm]
>
> V=III-II [mm]6\*m_{1}-24+6\*m_{2}=0[/mm]
>
> Bis hier hab ich keine Probleme, aber ich bin mir nicht
> ganz sicher, ob mein weiterer Rechenweg richtig ist.
>
> Um [mm]m_{2}[/mm] zu eliminieren habe ich V [mm]\*1,9[/mm] gerechnet und
> bekomme:
>
> [mm]11,4\*m_{1}-45,6+11,4\*m_{2}=0[/mm]
>
> Dann hab ich Gleichung IV und Gleichung V addiert und für
> [mm]m_{1}=\bruch{659}{700}[/mm] erhalten.
>
>
>
> Ich glaub jedoch, dass ich irgend wo einen fehler gemacht
> habe, denn wenn ich meine Ergebnisse für den Mittelpunkt
> und die einzelnen Punkte in die Kreisformel einsetze
> bekomme ich immer verschiedene Radien als Ergebnis, obwohl
> doch immer der gleiche Radius raus kommen sollte?!
>
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
>
>
> Wanne
ja da hast du dich irgendwo verrechnet
ich habe den weg über die mittelsenkrechten der beiden seiten b und c gewählt,
deren schnittpunkt ist der umkreismittelpunkt U.
[mm] \vec{x}_b=\vektor{-0.65\\1.15}+s\cdot\vektor{2.7\\1.7}
[/mm]
[mm] \vec{x}_c=\vektor{0.85\\2.65}+t\cdot\vektor{-5.7\\1.3}
[/mm]
das ergibt U(1.4997/2.5023) und r = 2.9977 (für A, B und C  )
oder auf 2 stellen genau
U(1.50/ 2.50) und r = 3.00
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