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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fyodor |
Hallo!
Zuerst möchte ich kurz meinen Hintergrund darlegen: ich bin seit einem Jahr Dipl.-Ing.(FH) Maschinenbau, und arbeite in der Konstruktion für Prüfstände. Und genau hier benötige ich die Hilfe qualifizierter Mathematiker.
Ich muß für ein Ausgleichsgewicht in einem Kubizierapparat eine Evolventenscheibe berechnen. Das Ausgleichsgewicht hängt an einem Seil, das über die Evolvente läuft.
Daher gilt:
1. Der Hebelarm ist gleich dem Abstand vom Grundkreis-Mittelpunkt zur Tangente an der Evolvente.
2. Die abgewickelte Länge des Seiles ist gleich der überstrichenen Bogenlänge der Evolvente.
Meine Fragen sind nun:
1. Wie bestimme ich die Tangente an der Evolvente?
2. Wie kann ich die Bogenlänge der Evolvente berechnen?
Tausend Dank für Eure Mühe!
Viele Grüße,
Jochen
Edit sagt:
Hier gibt es noch ein Bild zur Verdeutlichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei ist
DEGK der Durchmesser des Grundkreises
alpha1 der Drehwinkel
h1 die Tangente an den Grundkreis unter Winkel alpha1
O der Anfangspunkt der Evolvente (alpha1 gleich Null)
P1 der Punkt auf der Evolvente unter Winkel alpha1
Gesucht sind:
1. Die Tangente an die Evolvente unter Winkel alpha1 (soweit ich sehen kann ist der Berührungspunkt NICHT in P1)
2. Die abgewickelte Seillänge (also die Strecke O-P1 entlang der Evolvente) bei Winkel alpha1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo Fyodor,
könntest du vielleicht eine kleine Skizze posten? Dann kann man sich viel besser vorstellen, was du genau meinst...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fyodor |
Ist geschehen...
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> Meine Fragen sind nun:
> 1. Wie bestimme ich die Tangente an der Evolvente?
> (soweit ich sehen kann ist der Berührungspunkt NICHT in P1)
> 2. Wie kann ich die Bogenlänge der Evolvente berechnen?
Hallo Jochen,
es geht also um die Evolvente eines Kreises.
Dürfen wir den Radius des Kreises der Einfachheit gleich
Eins setzen ? (Am Ende kannst du alle linearen Grössen
einfach mit dem wahren Wert von r multiplizieren !)
Den Winkel bezeichnest du mit [mm] \alpha1 [/mm] bzw. mit [mm] \lambda{1}
[/mm]
(in der Zeichnung). Ich erlaube mir (um auf die griechischen
Buchstaben zu verzichten), den Winkel mit t zu bezeichnen.
(natürlich im Bogenmass gemessen; das vereinfacht die
Ableitungen und die Integration !)
Ein x-y-Koordinatensystem würde ich in deine Figur so
einfügen, dass der Nullpunkt O(0/0) im Kreismittelpunkt liegt,
die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach unten
zeigt.
Lieber hätte ich die Zeichnung umgekehrt gemacht, um
den üblichen (positiven) Drehsinn für den Winkel t zu
haben.
Dann hat der Kreispunkt [mm] B_t [/mm] zum Winkel t die Koordinaten
[mm] B_t(cos(t)/sin(t)). [/mm] Der zugehörige Punkt [mm] P_t [/mm] der Evolvente
liegt auf der Kreistangente in [mm] B_t [/mm] in einer Entfernung von [mm] B_t,
[/mm]
welche der Bogenlänge des Kreises von [mm] B_0=P_0 [/mm] bis zu [mm] B_t
[/mm]
entspricht. Dies entspricht gerade t (Bogenmass !).
Dann ist:
[mm] \overrightarrow{B_t P_t}=\vektor{t*sin(t)\\-t*cos(t)}
[/mm]
und [mm] \overrightarrow{O P_t}=\vektor{cos(t)+t*sin(t)\\sin(t)-t*cos(t)}
[/mm]
Dies ist die Parameterdarstellung für die Evolvente des Kreises
mit Radius r=1.
Um eine Tangentengleichung aufzustellen, kann man die
Ableitung nach t bilden:
[mm] \bruch{d}{dt}\ \overrightarrow{O P_t}=\vektor{t*cos(t)\\t*sin(t)}
[/mm]
Dieser Richtungsvektor der Tangente an die Evolvente ist
(natürlich !) parallel zum Vektor [mm] \overrightarrow{O B_t}.
[/mm]
Und der Berührungspunkt ist natürlich [mm] P_t [/mm] (wieso denn nicht ?).
Mit Berührungspunkt und Richtungsvektor kann man nun
eine Tangentengleichung aufstellen.
Zur Bogenlänge: bezeichnen wir sie mit L(t) !
[mm] L(t)=\integral_{0}^{t}{ds}
[/mm]
Das Linienelement ist [mm] ds=\wurzel{dx^2+dy^2} [/mm] oder:
[mm] ds=\wurzel{\dot{x}^2+\dot{y}^2}*dt
[/mm]
Dabei ist [mm] \dot{x}(t)=t*cos(t) [/mm] und [mm] \dot{y}(t)=t*sin(t) [/mm] (siehe oben !)
Das gibt ein nettes, einfach zu lösendes Integral !
N.B. Ich kann mir den Apparat, den du entwerfen sollst,
leider immer noch nicht vorstellen... 
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Fyodor |
Hallo, Al-Chwarizmi,
danke für Deine ausführliche Antwort. Ich bin zwar nicht mehr ganz so drin in der Mathematik, aber ich denke damit komme ich trotzdem weiter. Besonders die Aussage, daß die Tangente in alpha1 im Punkt P1 anliegt, hilft mir sehr!
Viele Grüße,
Jochen
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