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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
g: 3x +4y =-5 |
Hallo an alle Mitglieder des Matheraumforums!
Diese Frage habe ich in keinem Forum einer anderen Internetseite gestellt.
Meine Lösungsstrategie:
Ich ersetze in der Kreisgleichung y durch mx +n, um die Koordinaten des Punktes B zu erhalten.
(x-1)² + (-3x-5-1)² =25
x² -2x +1 +9x² +36x +36 =25
10x² +34x +12 =0
[mm] x_2 + \bruch{34}{10}x + \bruch{6}{5} [/mm] = 0
[mm] - \bruch{17}{10} \pm \wurzel{\bruch{289}{100} - \bruch{120}{100}} [/mm]
[mm] - \bruch{17}{10} \pm \wurzel{\bruch{169}{100}} [/mm]
[mm] - \bruch{17}{10} \pm \bruch{13}{10} [/mm]
[mm]x_1 = -3 [/mm] [mm] x_2 = -\bruch{2}{5} [/mm]
Im Lösungsbuch steht aber als Ergebnis: B(-2/3) und
als Gleichung der Tangente y= [mm] - \bruch{3}{4}x - \bruch{9}{2} [/mm]
Ich verstehe auch, dass die Tangenten dieselbe Steigung haben wie die Gerade auch, weil sie parallel zueinander verlaufen.
Wie komme ich aber auf die Koordinaten des Punktes B?
Schon im Voraus vielen Dank für die Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mo 30.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis
> (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen.
> Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
> g: 3x +4y =-5
> Hallo an alle Mitglieder des Matheraumforums!
>
> Diese Frage habe ich in keinem Forum einer anderen
> Internetseite gestellt.
>
> Meine Lösungsstrategie:
> Ich ersetze in der Kreisgleichung y durch mx +n, um die
> Koordinaten des Punktes B zu erhalten.
>
> (x-1)² + (-3x-5-1)² =25
Hallo, wenn du die Gerade in der Form y=mx+n schreiben willst, dann musst du diese Form auch herstellen.
Aus 3x +4y =-5 folgt 4y=-3x-5 und damit (beide Seiten durch 4 teilen) y=-0,75x-1,25 (und nicht -3x-5).
Aus (x-1)² + (y-1)² =25 wird damit (x-1)² + (-0,75x-1,25. -1)² =25
Gruß Abakus
> x² -2x +1 +9x² +36x +36 =25
> 10x² +34x +12 =0
>
> [mm]x_2 + \bruch{34}{10}x + \bruch{6}{5}[/mm] = 0
>
> [mm]- \bruch{17}{10} \pm \wurzel{\bruch{289}{100} - \bruch{120}{100}}[/mm]
>
> [mm]- \bruch{17}{10} \pm \wurzel{\bruch{169}{100}}[/mm]
>
> [mm]- \bruch{17}{10} \pm \bruch{13}{10}[/mm]
>
> [mm]x_1 = -3[/mm] [mm]x_2 = -\bruch{2}{5}[/mm]
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> Im Lösungsbuch steht aber als Ergebnis: B(-2/3) und
> als Gleichung der Tangente y= [mm]- \bruch{3}{4}x - \bruch{9}{2}[/mm]
>
> Ich verstehe auch, dass die Tangenten dieselbe Steigung
> haben wie die Gerade auch, weil sie parallel zueinander
> verlaufen.
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> Wie komme ich aber auf die Koordinaten des Punktes B?
>
> Schon im Voraus vielen Dank für die Mühe.
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
g: 3x +4y =-5 |
Hallo abakus,
wenn ich die Gleichung (x-1)² + (-0,75x-1,25 -1)² =25 auflöse, erhalte ich:
x² -2x +1 + (-0,75x -2,25)² =25
x² -2x +1 + 0,5625x² +3,375x +5,0625 =25
1,5625x² +1,375x -18,9375 =0
x² +0,88x -12,12 =0
-0,44 [mm] \pm \wurzel{0,1936 +12,12} [/mm]
-0,44 [mm] \pm \wurzel{12,3136} [/mm]
-0,44 [mm] \pm 3,51 [/mm]
[mm] x_1 = 3,07 [/mm] [mm] x_2 = -3,95 [/mm]
x muss aber laut Lösungsbuch -2 sein. Was rechne ich also falsch?
matherein
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Hallo,
du hast die Stellen berechnet, an denen sich die gegebene Gerade und der Kreis schneiden, du suchst aber eine (zwei) Gerade(n), die zur gegebenen Gerade parallel sind und Tangenten an den Kreis sind, [mm] y=-\bruch{3}{4}x+n, [/mm] setze diese Gleichung in die Kreisgleichung ein, du bekommst wieder eine quadratische Gleichung, die Diskriminante setzt du dann gleich Null
habe alles mal durchgerechnet, [mm] n_1=8 [/mm] und [mm] n_2=-4,5, [/mm] somit [mm] f_1(x)=-\bruch{3}{4}x+8 [/mm] und [mm] f_2(x)=-\bruch{3}{4}x-4,5
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
g: 3x +4y =-5 |
Danke für die Antwort Steffi,
wenn ich aloso [mm] y=-\bruch{3}{4}x+n [/mm] in die Kreisgleichung einsetze, erhalte ich (x-1)² + [mm] (-\bruch{3}{4}x+n [/mm] -1)² =25
Wie soll daraus aber eine quadratische Gleichung rauskommen?
Und warum muss ich die Diskriminate denn gleich null setzen?
Mit freundlichem Gruß
mathrein
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Hallo
[mm] (x-1)^{2}+(-\bruch{3}{4}x+(n-1))^{2}=25
[/mm]
[mm] x^{2}-2x+1+\bruch{9}{16}x^{2}-2*\bruch{3}{4}x*(n-1)+(n-1)^{2}=25
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16}x^{2}-2x+1-\bruch{3}{2}x*(n-1)+(n-1)^{2}=25
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16}x^{2}-2x+1-\bruch{3}{2}xn+\bruch{3}{2}x+n^{2}-2n+1=25
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16}x^{2}-2x+\bruch{3}{2}x-\bruch{3}{2}xn+n^{2}-2n-23=0
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16}x^{2}-\bruch{4}{2}x+\bruch{3}{2}x-\bruch{3}{2}xn+n^{2}-2n-23=0
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16}x^{2}-\bruch{1}{2}x-\bruch{3}{2}xn+n^{2}-2n-23=0
[/mm]
[mm] \bruch{25}{16}x^{2}+(-\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}n)x+n^{2}-2n-23=0
[/mm]
[mm] x^{2}+\bruch{16}{25}(-\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}n)x+\bruch{16}{25}(n^{2}-2n-23)=0
[/mm]
[mm] x^{2}+(-\bruch{8}{25}-\bruch{24}{25}n)x+(\bruch{16}{25}n^{2}-\bruch{32}{25}n-\bruch{368}{25})=0
[/mm]
jetzt haben wir [mm] p=-\bruch{8}{25}-\bruch{24}{25}n [/mm] und [mm] q=\bruch{16}{25}n^{2}-\bruch{32}{25}n-\bruch{368}{25}
[/mm]
wir machen p-q-Formel
[mm] x_1_2= \bruch{4}{25}+\bruch{12}{25}n \pm\wurzel{(\bruch{4}{25}+\bruch{12}{25}n)^{2}-(\bruch{16}{25}n^{2}-\bruch{32}{25}n-\bruch{368}{25})}
[/mm]
jetzt kommt folgende Überlegung Kreis und Tangente haben einen gemeinsamen Punkt, also hat die quadratische Gleichung eine Lösung, damit das der Fall ist, muß die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) gleich Null sein, somit gilt:
[mm] (\bruch{4}{25}+\bruch{12}{25}n)^{2}-(\bruch{16}{25}n^{2}-\bruch{32}{25}n-\bruch{368}{25})=0
[/mm]
du bekommst somit eine quadratische Gleichung in n, also zwei Lösungen [mm] n_1=8 [/mm] und [mm] n_2=-4,5
[/mm]
somit gibt es zwei Tangenten, siehe mein Bild von gestern
ich hoffe, mich nicht vertippt zu haben
Steffi
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
g: 3x +4y =-5 |
Hallo Steffi,
wenn ich die Diskriminante gleich null setze, also
[mm] (\bruch{4}{25}+\bruch{12}{25}n)^{2}-(\bruch{16}{25}n^{2}-\bruch{32}{25}n-\bruch{368}{25})=0 [/mm]
kommt bei mir aber nicht n= -4,5 raus.
Ich rechne so:
[mm] \left( \bruch{4}{25} + \bruch{12}{25}n \right)² - \left( \bruch{16}{25}n² - \bruch{32}{25}n - \bruch{368}{25}\right) =0 [/mm]
[mm] \bruch{16}{625} + \bruch{96}{625}n + \bruch{144}{625}n² - \bruch{16}{25}n² + \bruch{32}{25}n + \bruch{368}{25} =0 [/mm]
[mm] -\bruch{256}{625}n² + \bruch{896}{625}n + \bruch{9216}{625} =0 [/mm]
Bei dieser quadratischen Gleichung kommt, wenn man weiterrechnet, unter der Wurzel ein negatives Ergebnis raus mit viel zu hohen Zahlen.
Was rechne ich also falsch?
Mit freunldichem Gruß
matherein
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Hallo, die Klammern hast du korrekt aufgelöst, ebenso zusammengefasst,
jetzt mal 625, wir sind die Brüche los
[mm] -256n^{2}+896n+9216=0
[/mm]
jetzt durch (-256)
[mm] n^{2}-3,5n-36=0
[/mm]
hier passiert liebend gerne ein Vorzeichenfehler, mache jetzt p-q-Formel, [mm] n_1=8 [/mm] und [mm] n_2=-4,5
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Do 03.07.2008 | | Autor: | matherein |
Hallo Steffi,
vielen Dank für die Hilfe bei der schreibtechnisch doch recht umfangreichen Aufgabe.
Die letzte Rückfrage hätte ich mir auch sparen, aber ich bin irgendwie nicht auf das Kürzen gekommen, obwohl man das ja bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mit pq-Formel machen muss!
Mit freundlichem Gruß
matherein
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> > Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis
> > (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen.
> > Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
> > g: 3x +4y =-5
> > Meine Lösungsstrategie:
> > Ich ersetze in der Kreisgleichung y durch mx +n, um die
> > Koordinaten des Punktes B zu erhalten.
> >
> > (x-1)² + (-3x-5-1)² =25
> Hallo, wenn du die Gerade in der Form y=mx+n schreiben
> willst, dann musst du diese Form auch herstellen.
> Aus 3x +4y =-5 folgt 4y=-3x-5 und damit (beide Seiten
> durch 4 teilen) y=-0,75x-1,25 (und nicht -3x-5).
> Aus (x-1)² + (y-1)² =25 wird damit (x-1)² +
> (-0,75x-1,25. -1)² =25
> Gruß Abakus
Sorry, aber es geht ja in der Aufgabe überhaupt nicht darum,
die Schnittpunkte von Gerade und Kreis zu bestimmen !
Gruß Al-Chwarizmi
> ......
> ......
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Hallo Matherein,
du hast einen ganz falschen Ansatz! Da kann gar nichts richtiges rauskommen. Du hast einfach die Geradengleichung nach Y aufgelöst und dann in die Kreisgleichung eingesetzt.
Die Aufgabenstellung lautet:
... Tangenten an den Kreis ..., die parallel zur Geraden g verlaufen
Das bedeutet, dass die Tangenten die gleiche Steigung haben müssen wie [mm] \begin{matrix}
f(g)&=& - \bruch{3}{4} * x - \bruch{5}{4}
\end{matrix}
[/mm]
Die Steigung einer Geraden ist das was vor dem X multipliziert wird. In deinem Fall [mm] - \bruch{3}{4} [/mm]
Leite mal die Kreisgleichung nach X ab, setzte NICHT null sondern Ableitung gleich Steigung der Geraden und dann müsste das gleiche rauskommen.
Probiers mal damit, falls nicht weiterkommst einfach nochmal reinschreiben.
Schöner Gruß
RoadRunner
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)² + (y-1)² =25, die parallel zur Geraden g verlaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
g: 3x +4y =-5 |
Danke für die Antwort RoadRunner 1984,
wenn ich die Kreisgleichung nach x auflöse, erhalte ich
(x-1)² = 25 - (y-1)²
[mm] x_1 = - \wurzel{25 - (x-1)² +1} [/mm]
[mm] x_2 = + \wurzel{25 - (x-1)² +1} [/mm]
Allerdings müsste diese Aufgabe auch ohne die Ableitung zu bilden zu lösen sein, da Ableitungen erst später drankommen.
Wie bildet man denn die Ableitung?
Mit freundlichem Gruß
matherein
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Hallo, wenn ihr noch keine Ableitungen könnt, so kannst du eigentlich nur den Weg über die Diskriminante gleich Null setzen gehen, siehe meine andere Lösung, [mm] n_1=8 [/mm] und [mm] n_2=-4,5
[/mm]
Steffi
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Hi matherein,
ich schick die Lösung über die Ableitung heute Nachmittag rein. Muss jetzt gleich in die Uni.
Jedenfalls hat Steffi21 recht, wenn du noch keine Ableitungen gehabt hast dann mach es über die Diskriminante.
Der Weg über die Ableitung ist folgender:
Über die Ableitung kannst du die Steigung eines beliebigen Punktes einer beliebigen Funktion berechen. In deinem Fall soll die einer Tangente des Kreises [mm] \bruch{3}{4} [/mm] betrage.
Ich würde die Kreisfunktion implizit Ableiten, dann erstparst du dir das Auflösen nach y. Dann mit - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] gleichsetzen, die zwei x Werte berechnen. Dann die erhaltenen Werte ind die Kreisgleichung einsetzen und du bekommst die entsprechenden y-Werte deiner Punkte mit den gewünschten Eigenschaften.
Dann ist es ganz einfach die Tangente dieser Punkte zu finden, denn du hast ja den Punkt (z.b.) A=(x/y) und die Steigung der Tangente.
Wie gesagt, ich schick den Lösungsweg später rein.
Mach es so wie es Köpper beschrieben hat. Ist ein echt genialer Lösungsansatz.
Bis später
RoadRunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 03.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo matherein.
lass das mal lieber mit der Ableitung, vor allem mit der impliziten. Da es sich bei der Kreisgleichung nicht um eine Funktion handelt, gibt das Probleme und ist aus Schülersicht sicher der am schwersten verständliche Weg, zumal er hinsichtlich der Rechnung auch am aufwändigsten ist.
Nachdem wir nun mit Steffi's korrektem Weg über die Diskriminante zwei verschiedene Ansätze schon haben, möchte ich noch einen dritten, und zwar sehr einfachen beisteuern:
Überlege einfach, daß jede Tangente an einen Kreis senkrecht auf dem zugehörigen Berührradius steht.
Um die beiden Berührpunkte zu bekommen, mußt du also nur die beiden Berührradien bestimmen und das ist sehr einfach:
Die gegebene Geradengleichung hat den Normalenvektor (3,4). Das muß also der Richtungsvektor einer Geraden sein, auf der beide Berührradien liegen. Lege eine Gerade mit diesem Richtungsvektor durch den Mittelpunkt des Kreises und bestimme die beiden Schnittpunkte mit dem Kreis. Das sind die Berührpunkte und das ist auch der einfachste und schnellste Weg 
LG
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 03.07.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Will, geniale Lösungsidee, aber vollkommen logisch, mit minimalem Rechenaufwand hat man die Lösung, Danke, wie heißt es so schön, man lernt nie aus, Steffi
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Hallo, da die Frage wieder auf teilweise beantwortet steht, nehme ich an, dir fehlen noch die Berührpunkte, du kennst die Kreisgleichung und die beiden Tangentengleichungen, setze [mm] y=-\bruch{3}{4}x+8 [/mm] in die Kreisgleichung ein, berechne die Berührstelle x= ...., dann in die Tangentengleichung einsetzen und y= .... berechnen, du hast den Berührpunkt,
dann mit der 2. Tangente
Steffi
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Hallo Steffi,
doch, die Berührpunkte hatte ich alleine ausrechnen können. Nur habe ich für die Tangente [mm] y=-\bruch{3}{4}x-4,5 [/mm] als y-Wert -3 raus.
Im Lösungsbuch steht aber als Ergebnis 3.
Allerdings hatte ich diese Abweichung übersehen. Jetzt, wo du mir noch einmal geschrieben hast, ist es mir aber aufgefallen.
Es handelt sich doch nur um einen Fehler im Buch, oder ?
Mit freundlichem Gruß
matherein
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Hallo, die Tangente [mm] y=-\bruch{3}{4}x-4,5 [/mm] berührt den Kreis definitiv im Punkt (-2; -3), du hst korrekt gerechnet, Fehler im Buch, schaue dir auch noch mal den Anhang von gestern an, dort erkennst du beide Tangenten und beide Berührpunkte,
Steffi
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