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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 So 22.05.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r>0. Sei weiterhin ein Punkt P „außerhalb“ von k (also |PM|>r) gegeben. Betrachten Sie folgende Konstruktion: Um P wird ein Kreisbogen k‘ mit Radius r‘=|PM| gezogen. Die Kreise k und k‘ schneiden sich in den Punkten Q und R. Um diese beiden Punkte wird jetzt jeweils ein Kreis mit Radius r geschlagen. Die beiden Schnittpunkte von diesen Kreisen sind einmal (wegen der Konstruktion) M und einmal ein neuer Punkt P‘. Skizzieren Sie diese Konstruktion und beweisen Sie:
a) M, P‘ und P liegen auf einer Geraden
b) |P’M| |PM|= r² |
Ok die zeichnung ging ziemlich fix. Und man sieht auch das die Gerade durch M,P und P` auch als symmetrieachse für die ganze zeichung fungiert.
bei a) komm ich gar nicht weiter. Ich hab erst Versucht dreiecke in die Kreise zu zeichnen und mit Strahlensätzen zu aarbeiten aber ich finde da keine strecke die parallel zu einer anderen ist.
wäre es hier sinnvoller mit einem widerspruchsbeweis zu arbeiten ?aber wie kann man ihn denn aufbauen ?
b) das es sich um den tangensatz handelt ist ziemlich klar. Ich hab einen Kreis gezogen so dass |PP´| durch den Mittelpunkt des Kreises geht.
Wie zeigt man aber dass die Tangente durch M die denn neuen Kreis genau an der stelle berührt wo sich der neue Kreis mit dem Kreis K schneidet?
Vielen Dank schon mal im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 22.05.2011 | | Autor: | weduwe |
zu a) überlege dir, was du über die mitteklsenkrechte von R und Q aussagen kannst und wie weit jeweils M,P und P´von diesen punkten entfernt sind.
zu b) das folgt aus der ähnlichkeit der 3ecke [mm] \Delta{MPQ}\sim \Delta{MPQ^\prime}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 22.05.2011 | | Autor: | Ayame |
Ok a) ist mir jetzt klar :)
Mit |RQ| kann als grundseite kann ich gleichschenklige dreiecke angeben wodurch letzendlich alle punkt M, P und P´ auf der mittelsenkrechten von |RQ| liegen müssen.
bei b) den Dreiecken [mm] \Delta [/mm] MPQ´ und [mm] \Delta [/mm] MQP sehe ich nicht die ähnlichkeit. Das einzige was sie gemeinsam haben ist die Strecke |MP|.
Mit Q´ meintest du doch den Punkt in dem die Tangente durch M den Kreis berührt. Den Kreis in dem die Strecke |P´P| durch den mittelpunkt geht und P und P´ auf der Kreislinie liegen.oder ?
Und wenn eine ähnlichkeit bestehen würde: wie zeigt dass, das die gerade durch M auch eine Tangente durch Q ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 22.05.2011 | | Autor: | weduwe |
da ist das " ´" verrutscht, was doch ganz offensichtlich ist, da ein punkt Q´gar nicht existiert.
wenn du die ähnlichkeit nicht erkennst, heißt das nicht, dass es sie nicht gibt,
also noch einmal:
[mm] \Delta{MQP^\prime}\sim\Delta{MQP}
[/mm]
und das sollte man schon sehen 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 22.05.2011 | | Autor: | Ayame |
AAAAh stimm. beide deiecke haben die gleichen winkel.
Den winkel beim Punkt M haben beide Dreiecke. also muss er gleich sein.
Aber bei deinem Bild: klar ich sehe dass sie gleich sind aber wie kann man
das schriftlich beweisen ?
Danke dass du so viel gedult mit mir hast
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> AAAAh stimm. beide deiecke haben die gleichen winkel.
> Den winkel beim Punkt M haben beide Dreiecke. also muss er
> gleich sein.
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> Aber bei deinem Bild: klar ich sehe dass sie gleich sind
> aber wie kann man
> das schriftlich beweisen ?
Es gilt MP=QP (Radius von k') und MQ=P'Q=r (Radius von k).
Nach Zentri-Peripheriewinkelsatz im Kreis k' ist [mm] \sphericalangle [/mm] QRM = [mm] \frac{1}{2}\sphericalangle [/mm] QPM. Nun folgt (das überlege dir) leicht aus Symmetriegründen, dass [mm] \sphericalangle MQP'=\sphericalangle [/mm] QPM
LG
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Hallo Ayame,
es geht auch noch anders.
Den Winkel [mm] \angle{PMQ} [/mm] haben beide Dreiecke gemeinsam. Da sie gleichschenklig sind (warum?), gilt zudem [mm] \angle{PMQ}=\angle{MQP}=\angle{QP’M}. [/mm] Also gilt auch [mm] \angle{QPM}=\angle{MQP’}.
[/mm]
Und noch einfacher dürfte dieser Weg sein:
Q und R sind gleich weit von der Geraden [mm] \overline{MP} [/mm] entfernt. Daher muss auch P’ auf dieser Geraden liegen (die ja zugleich die Symmetrieachse der ganzen Konstruktion ist).
Grüße
reverend
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