Kreis: r und alpha gesucht < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
r = ?
[mm] \alpha [/mm] = ?
b = 3m
[mm] A_{s} [/mm] = 16m² (Fächeninhalt vom Kreissegment)
Wie berechnet man jetzt r und [mm] \alpha?
[/mm]
Bekannt sind die Formeln:
[mm] A_{s}= \bruch{\alpha}{360° * r^2 * \pi }
[/mm]
b = [mm] \bruch{\pi * r}{180°} [/mm] * [mm] \alpha
[/mm]
In beiden Formeln gibt es zwei Unbekannte. Was nun?
Gruß
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Halli hallo!
Wenn du so ein Problem hast, kannst du immer schauen ob du es rausbekommen kannst oder nicht!
Wenn du zwei Unbekannte hast, brauchst du mindestens zwei Gleichungen um sie zu bestimmen!
Bei drei Unbekannten mindestens 3 Gleichungen usw.
Nun also zu deinem Beispiel, du hast zwei Unbekannte und zwei Gleichungen!
Es gibt mehrere Varianten, wie du vorgehen kannst:
1) Gleichsetzungsverfahren, dabei stellst du beide Gleichungen nach einer der beiden Unbekannten um und setzt dann die erhaltenen Terme gleich
2) Das Additionsverfahren, hier addierst du ein Vielfaches der einen Gleichung zu der anderen, um so eine der Unbekannten zu elimnieren
3) das Einsetzungsverfahren, dabei stellst du eine Gleichung nach einer Unbekannten um und setzt das Ergebnis in die zweite ein!
Das letzte Verfahren bietet sich in unserem Fall an:
> Bekannt sind die Formeln:
> [mm] A_{s}= \bruch{\alpha}{360° * r^2 * \pi }
[/mm]
> b = [mm] \bruch{\pi * r}{180°}*\alpha
[/mm]
Hier kannst du die zweite Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] umstellen und erhälst
[mm] \alpha=\bruch{180°*b}{\pi*r}
[/mm]
Diesen Term kannst du nun in die erste einsetzen und bekommst
[mm] A_s=\bruch{\bruch{180°*b}{\pi*r}}{360°*r^2*\pi}=\bruch{180°*b}{\pi*r*360°*r^2*\pi}=\bruch{b}{2*\pi^2*r^3}
[/mm]
Nun kannst du nach r umstellen und den Wert berechnen. Danach erhälst du mit dem gefundenen Wert für r auch den Wert für [mm] \alpha!
[/mm]
Wenn du noch Fragen hast, melde dich einfach nochmal!
Liebe grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Back-Up |
16 = [mm] \bruch {3}{2*\pi^2*r^3}
[/mm]
[mm] 2*\pi^2*r^3*16 [/mm] = 3
[mm] r^3 [/mm] = [mm] \bruch {3}{2*\pi^2*16}
[/mm]
r = [mm] \wurzel[3]{\bruch {3}{2*\pi^2*16}}
[/mm]
r = 0,3121892056
Derive gibt mir als Lösung 0.2117827162 an. Beide Ergebnisse kommen mir seltsam vor. [mm] \alpha [/mm] wäre (bei r = 0.2117827162) 811,6212030°. Das kann doch nicht stimmen.
Wo liegt der Fehler?
Die Aufage wurde einem aus der 8. Klasse gestellt. Kann mir gar nicht vorstellen, dass das so anspruchsvoll ist. Das Gleichsetzen ist ja schon sehr anspruchsvoll für jemanden aus der 8. Klasse...
Gruß
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Hallo,
schätze mal, daß das nicht ganz die richtigen Formeln sind:
[mm]\frac{{A_\alpha }}
{{\pi \;r^{2} }}\; = \;\frac{\alpha }
{{2\;\pi }}\; \Rightarrow \;A_\alpha \; = \;\frac{\alpha }
{2}\;r^{2} [/mm]
[mm]\frac{{U_\alpha }}
{{2\;\pi \;r}}\; = \;\frac{\alpha }
{{2\;\pi }}\; \Rightarrow \;U_\alpha \; = \;\alpha \;r[/mm]
Das gilt aber nur, wenn der Winkel im Bogenmaß gesucht ist.
Für Winkel im Gradmaß gilt:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{{A_\alpha }}
{{\pi \;r^2 }}\; = \;\frac{{\alpha _{g} }}
{{360}}\; \Rightarrow \;A_\alpha \; = \;\frac{{\pi \;\alpha _{g }}}
{{360}}\;r^2 \hfill \\
\frac{{U_\alpha }}
{{2\;\pi \;r}}\; = \;\frac{{\alpha _{g} }}
{{360}}\; \Rightarrow \;U_\alpha \; = \;\frac{{\pi \;\alpha _{g} \;r}}
{{180}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Ich habe hier die folgende Umrechung benutzt:
[mm]
\frac{\alpha }
{{2\;\pi }}\; = \;\frac{{\alpha _g }}
{{360}}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo Back-Up,
der Ansatz von cremchen war OK, aber beim Einsetzen von [mm] $\alpha$ [/mm] in die zweite Gleichung, ist ein Fehler passiert. Richtig wäre [mm]A_s = \bruch{180°\cdot{}b}{\pi\cdot{}r}}*\bruch{r^2\cdot{}\pi}{360°} = \bruch{b\cdot{}r\}{2}[/mm]
Wenn Du jetzt die Formel nach r umstellst erhälst Du
$r = [mm] \bruch{2*A_s}{b}$
[/mm]
Setzt Du nun die Werte für die Fläche und den Bogen ein, ergibt sich $r = 10,6666... cm$
Für [mm] $\alpha$ [/mm] erhältst Du den Winkel 16,1°.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Einstein |
Sorry, da ich seit einiger Zeit keine Formeln mehr angezeigt bekomme, sondern nur die TEX-Schreibweise, ist mit ein Tippfehler passiert. Hier die Korrektur:
$ [mm] A_s [/mm] = [mm] \bruch{180°*b}{\pi*r}*\bruch{r^2*\pi}{360°} [/mm] = [mm] \bruch{b*r}{2} [/mm] $
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