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Forum "Abiturvorbereitung" - Kreis Gerade Schnittpunkt
Kreis Gerade Schnittpunkt < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Kreis Gerade Schnittpunkt: Winkel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Di 18.03.2014
Autor: MathematikLosser

Aufgabe
Berechne die Schnittpunkte und einen Schnittwinkel des Kreises k mit der Geraden g.
c) [k(-3/2);5]; g:x+2y=6

Mein Versuch:
die Kreisgleichung lautet:
[mm] (x+3)^2+(y-2)^2=5 [/mm]
g: [mm] y=-\bruch{x}{2}+3 [/mm]
Nun g in k einsetzen:

[mm] (x+3)^2+(\bruch{x}{2}+3)^2=5 [/mm]

[mm] x^2+6x+9+(\bruch{x^2}{4}+\bruch{6x}{2}+9)=5 [/mm]

[mm] \bruch{5x^2}{4}+\bruch{18x}{2}+18=5 [/mm]
[mm] \bruch{5x^2}{4}+\bruch{18x}{2}+13=0 [/mm]

[mm] x1,2=\bruch{\bruch{-18}{2}\pm \wurzel{\bruch{-18}{2}^2-4*\bruch{5}{4}*13}}{2*\bruch{5}{4}} [/mm]

[mm] =\bruch{-9 \pm \wurzel{16} }{2,5} [/mm]

[mm] \bruch{-9 \pm 4}{2,5} [/mm]

S1=-2
S2=-5,2

Nun die y Werte berechnen:

[mm] y=\bruch{2}{2}+3 [/mm]
y=4
T: -2x+4y=d
Nun Mittels Skalarprodukt den Winkel berechnen?

=> [mm] \bruch{\vektor{-2 \\ 4}*\vektor{1 \\ 2}}{\wurzel{4+16}*\wurzel{1+4}} [/mm]

[mm] =\bruch{-2+8}{\wurzel{20}*\wurzel{5}} [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{6}{10} [/mm]

cos (0,6)= 53,13010235°
Der Schnittwinkel beträgt somit 53,13°

Stimmen meine Überlegungen?


        
Bezug
Kreis Gerade Schnittpunkt: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Di 18.03.2014
Autor: Roadrunner

Hallo MathematikLosser!


>  die Kreisgleichung lautet:
>  [mm](x+3)^2+(y-2)^2=5[/mm]

[notok] Die Kreisgleichung lautet:   [mm] $(x+3)^2+(y-2)^2 [/mm] \ = \ [mm] 5^{\red{2}}$ [/mm]


>  g: [mm]y=-\bruch{x}{2}+3[/mm]
>  Nun g in k einsetzen:
>  
> [mm](x+3)^2+(\bruch{x}{2}+3)^2=5[/mm]

[notok] Abgesehen von dem fehlenden Quadrat muss es hier lauten nach dem Einsetzen:

[mm] $(x+3)^2+\left(\red{-}\bruch{x}{2}+3\red{-2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 5^2$ [/mm]

[mm] $(x+3)^2+\left(-\bruch{x}{2}+1\right)^2 [/mm] \ = \ 25$


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Kreis Gerade Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Di 18.03.2014
Autor: MathematikLosser

Aufgabe
k: [-3/2);5]; g: x+2y=6

[mm] (x+3)^2+(y-2)^2=25 [/mm]

[mm] y=\bruch{-x}{2}+3 [/mm]

=> [mm] (x+3)^2+(-\bruch{-x}{2}+3-2)^2=25 [/mm]

[mm] x^2+6x+9+(\bruch{x^2}{4}-\bruch{2x}{2}+1)=25 [/mm]

[mm] \bruch{5x^2}{4}+5x+10=25 [/mm]

[mm] \bruch{5x^2}{4}+5x-15=0 [/mm]

x1=-6
x2=2


Meine Frage ist nun jedoch, wie ich mir den Schnittwinkel berechnen kann.

y1=6
y2=2

Meine Idee wäre nun die Tangenten zu den Schnittpunkten mittels spaltform zu legen:

(x+3)*(-6+3)+(y-2)*(6-2)=25

(-3x-9)+(4y-8)=25
-3x+4y-17=25
-3x+4y=42

Der Schnittwinkel wäre nun hier mittels Skalarprodukts zu berechnen:

[mm] =>\bruch{\vektor{-3 \\ 4}*\vektor{1 \\ 2}}{\wurzel{9+16}*\wurzel{1+4}} [/mm]

[mm] =\bruch{-3+8}{\wurzel{25}*\wurzel{5}} [/mm]
[mm] =\bruch{5}{11,18033989} [/mm]
=0,447213595
cos(0,447213595)= 63,43494885°
[mm] \alpha=63,43° [/mm]

Stimmen meine Überlegungen?


Bezug
                        
Bezug
Kreis Gerade Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Di 18.03.2014
Autor: Steffi21

Hallo

[Dateianhang nicht öffentlich]

die Punkte A und B liegen auf der Gerade [mm] y=-\bruch{1}{2}x+3, [/mm] der Richtungsvektor lautet [mm] \vektor{-1 \\ 0,5} [/mm]
die Tangente an Kreis im Punkt B ist die Gerade [mm] y=\bruch{3}{4}x+10,5, [/mm] der Richtungsvektor lautet [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm]

nun erneut den Winkel berechnen

Steffi


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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