Kreis-Gleichung - Mittelpunkt < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 31.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung
[mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 24x - 20y + 45 = 0 |
Hallo.
Die Aufgabe habe ich im Internet gefunden. Die Lösungen M(-3/2,5) und
r=2 standen auch mit dabei.
Wenn ich das durchrechne kommt bei mir aber folgendes raus: M(-6/5) und r=4 - also jeweils das doppelte.
Ich denke mal, dass der Fehler bei mir liegt.
Kann bitte jemand einmal den komplette Lösungsweg aufschreiben, damit ich sehe, wo mein Fehler liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Di 31.01.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo [mm] Julia_1. [/mm]
> Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der
> Gleichung
> [mm]4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] + 24x - 20y + 45 = 0
> Hallo.
>
> Die Aufgabe habe ich im Internet gefunden. Die Lösungen
> M(-3/2,5) und
> r=2 standen auch mit dabei.
> Wenn ich das durchrechne kommt bei mir aber folgendes
> raus: M(-6/5) und r=4 - also jeweils das doppelte.
> Ich denke mal, dass der Fehler bei mir liegt.
> Kann bitte jemand einmal den komplette Lösungsweg
> aufschreiben, damit ich sehe, wo mein Fehler liegt?
Du weißt schon, dass das Forum hier keine Hausaufgabenlösungsmaschine ist? Warum machst du dir nicht die Mühe und postest deinen Lösungsweg?
Was haben wir denn gegeben? Die Kreisgleichung:
[mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 24x - 20y + 45 = 0
Weißt du, dass man hier nach Schema F vorgeht? Sprich quadratische Ergänzung, damit du auf die Form
[mm] (x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2 [/mm]
kommst
Na dann machen wir das mal
[mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 24x - 20y + 45 = 0
Schreiben das etwas übersichtlicher hin
[mm] 4x^2 [/mm] + 24x [mm] +4y^2 [/mm] - 20y + 45 = 0
Quadratische Ergänzung
Vermutlich hast du folgendermassen gerechnet - Was aber falsch ist:
[mm] 4x^2 [/mm] + 24x [mm] +12^2-12^2 +4y^2 [/mm] - 20y [mm] +10^2-10^2 [/mm] + 45 = 0
[mm] 4x^2 [/mm] + 24x [mm] +12^2-12^2 +4y^2 [/mm] - 20y [mm] +10^2-10^2 [/mm] + 45 = 0
[mm] (2x+12)^2 -12^2 [/mm] + [mm] (2y-10)^2 [/mm] - [mm] 10^2 [/mm] +45 = 0
Du solltest nämlich schon bei folgendem Term dafür sorgen, dass der Faktor vor dem [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] verschwindet.
[mm] 4x^2 [/mm] + 24x [mm] +4y^2 [/mm] - 20y + 45 = 0 | :4
[mm] x^2 [/mm] +6x [mm] +y^2 [/mm] - 5y + [mm] \bruch{45}{4} [/mm] = 0
Nun kann man auch die quadratische Ergänzung durchführen
[mm] x^2 [/mm] +6x [mm] +3^2 -3^2 +y^2 [/mm] - 5y + [mm] (\bruch{5}{2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{5}{2})^2 [/mm] + [mm] \bruch{45}{4} [/mm] = 0
[mm] (x+3)^2-9 +(y-\bruch{5}{2})^2 [/mm] ...und so weiter
Ich denke, den Rest schaffst du. Oder?
mfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Di 31.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
@Disap:
1. Die Aufgabe war/ist keine Hausaufgabe (Woher sollte ich dann auch schon die Ergebnisse kennen???)
- Die Aufgabe ist Teil eines Mathematik-Brückenkurses einer FH, der im
Internet inkl. den Lösungen veröffentlicht wurde (leider ohne den
Lösungsweg)
2. Ich bin 26 Jahre alt, und wie lange mein letzter Mathematik-Unterricht
her ist, kannst Du dir dann wahrscheinlich selber ausrechnen.
Mein Lösungsweg sah folgendermaßen aus:
Ich hab mir überlegt, was ich für Zahlen in die allgemeine Kreisgleichung einsetzen muss um auf die in der Aufgabenstellung gennante Gleichung zu kommen.
Bei mir kam da folgendes raus:
[mm] r^2 [/mm] = [mm] (2x+6)^2 [/mm] + [mm] (2y-5)^2
[/mm]
= [mm] 4x^2 [/mm] + 24x + 36 + [mm] 4y^2 [/mm] - 20y +25
= [mm] 4x^2 [/mm] + 24x [mm] +4y^2 [/mm] - 20y + 61
Hinten steht jetzt also die 61. In Gleichung der Aufgabenstellung war es aber ein 45, also habe ich r folgendermaßen berechnet:
[mm] r^2 [/mm] + 45 = 61 |-45
[mm] r^2 [/mm] = 16 [mm] |\wurzel
[/mm]
r = 4
Somit hatte ich die Ergebnisse M(-6/5) und r=4
Wie gesagt, mein Schulunterricht ist schon fast 10 Jahre her und Dinge wie quadratische Ergänzung sind nicht mehr auf dem vorderen Teil meiner "Festplatte".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 31.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
Ist es nur Zufall, dass ich bei meinen Ergebnissen das Doppelte rausbekommen habe - oder könnte ich solche Aufgabenstellungen immer so lösen und müßte dann meine Ergebnisse nur durch 2 teilen ???
Bitte um Antworten mit Begründung, die auch ich verstehe. 
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Hallo Julia!
Nein, dass Du das Doppelte erhalten hast, ist kein Zufall, sondern liegt an den beiden Faktoren vor dem [mm] $x^2$ [/mm] bzw. [mm] $y^2$ [/mm] .
Denn dieser lautet ja jeweils $4 \ = \ [mm] \red{2}^2$ [/mm] , daher der Faktor $2_$.
Du solltest eine entsprechende Gleichung als erstes durch diesen Faktor teilen, damit Du jeweils [mm] $\red{1}*x^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2$ [/mm] bzw. [mm] $\red{1}*y^2 [/mm] \ = \ [mm] y^2$ [/mm] dastehen hast (so wie Disap das auch gemacht hat).
Dann ist der weitere Rechenweg (quadratische Ergänzung) genauso wie Du es richtigerweise gemacht hast.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Di 31.01.2006 | | Autor: | Disap |
> @Disap:
>
> 1. Die Aufgabe war/ist keine Hausaufgabe (Woher sollte ich
> dann auch schon die Ergebnisse kennen???)
Ich hätte genauso gut schreiben können: das Forum ist keine Aufgabenlösungsmaschine. Du musst dich deswegen jetzt nicht persönlich angegriffen fühlen, aber ich finde, dass zum Lösen einer Aufgabe vom Fragesteller einfach der "Ansatz" dazu gehört. Um so besser, dass du ihn unten gerade gepostet hast.
> - Die Aufgabe ist Teil eines Mathematik-Brückenkurses
> einer FH, der im
> Internet inkl. den Lösungen veröffentlicht wurde
> (leider ohne den
> Lösungsweg)
> 2. Ich bin 26 Jahre alt, und wie lange mein letzter
> Mathematik-Unterricht
> her ist, kannst Du dir dann wahrscheinlich selber
> ausrechnen.
>
> Mein Lösungsweg sah folgendermaßen aus:
>
> Ich hab mir überlegt, was ich für Zahlen in die allgemeine
> Kreisgleichung einsetzen muss um auf die in der
> Aufgabenstellung gennante Gleichung zu kommen.
>
> Bei mir kam da folgendes raus:
>
> [mm]r^2[/mm] = [mm](2x+6)^2[/mm] + [mm](2y-5)^2[/mm]
Also, so darf man das nicht schreiben. Zumal du die +45 verschlampt hast, die am Anfang der Aufgabe gegeben sind, die darf man nicht weglassen. Und das Ergebnis hier ist doch eigentlich richtig. Nur leider hast du dich in der Interpretation vertan. Um den Mittelpunkt zu bekommen, muss man sich fragen, für welches x in den Klammern wird der Ausdruck null.
2x+6 =0| - 6
2x=-6 |:2
[mm] x_1= [/mm] -3
Eine der Lösungen, damit ist die Koordinate des Kreismittelpunkts [mm] M(m_1|m_2) [/mm] bzw. [mm] M(x_1|x_2) [/mm] => [mm] M(-3|x_2) [/mm]
Nur wenn man solche Sachen in der Vergangenheit gemacht hat, kann man das auch einfach so ablesen.
> = [mm]4x^2[/mm] + 24x + 36 + [mm]4y^2[/mm] - 20y +25
> = [mm]4x^2[/mm] + 24x [mm]+4y^2[/mm] - 20y + 61
Du hattest geschrieben:
[mm] (2x+6)^2[/mm] [/mm] + [mm][mm] (2y-5)^2
[/mm]
Du musst nun die Hälfte von 6 quadrieren, da du noch das 2x hast im Ausdruck [mm] (2x+6)^2. [/mm]
> Hinten steht jetzt also die 61. In Gleichung der
> Aufgabenstellung war es aber ein 45, also habe ich r
> folgendermaßen berechnet:
>
> [mm]r^2[/mm] + 45 = 61 |-45
> [mm]r^2[/mm] = 16 [mm]|\wurzel[/mm]
> r = 4
>
> Somit hatte ich die Ergebnisse M(-6/5) und r=4
Ungewöhnliche Schreibweise...offiziell ist die so nicht richtig (würde ich jetzt mal als Laie sagen)
> Wie gesagt, mein Schulunterricht ist schon fast 10 Jahre
> her und Dinge wie quadratische Ergänzung sind nicht mehr
> auf dem vorderen Teil meiner "Festplatte".
Wie gesagt, fühl dich nicht persönlich angegriffen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Di 31.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
@ Disap:
Und wie sieht die offizielle Schreibweise aus?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 31.01.2006 | | Autor: | Disap |
Naja, m. E. nach ist
$ [mm] r^2 [/mm] + 45 = 61 $
das keine Kreisgleichung, die man aber immer mit aufschreiben sollte.
Denn diese lautet ja in der allgemeinen Form
[mm] (x-m_1)^2 [/mm] + [mm] (y-m_2)^2 [/mm] = [mm] \red{r^2}
[/mm]
Und wir hatten hier habe ich mich vertüdelt ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") Das sollte natürlich
$ [mm] (2x+6)^2 [/mm] + [mm] (2y-5)^2 \red{-9-(\bruch{5}{2})^2 + \bruch{45}{4}} [/mm] = 0$
(heißen, statt
$ [mm] (2x+6)^2 [/mm] + [mm] (2y-5)^2 \red{-9-(\bruch{5}{2})^2 + 45} [/mm] = 0$)
zusammengefasst
$ [mm] (2x+6)^2 [/mm] + [mm] (2y-5)^2 \red{-4} [/mm] = 0$
$ [mm] (2x+6)^2 [/mm] + [mm] (2y-5)^2 [/mm] = [mm] \red{4} [/mm] $ [mm] \gdw r^2 [/mm] = 4
und auch das war etwas geschummelt, da ich die weiteren Zahlen der quad. Ergänzung aus meiner vorherigen Antwort genommen habe
Also deine "Nebenrechnung" ohne Hinweis etc. habe ich noch nie gesehen. Bei irgendwelchen Aufgaben fürs Studium (oder so) würde ich das da nicht so hinpfeffern, das wollte ich eigentlich nur sagen. Aber das bleibt ja jedem selbst überlassen.
Verstehst du, worauf ich hinaus will?
D-KG Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Di 31.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
@Disap:
Kannst Du nochmal den Weg aufschreiben, wie Du von -9 - [mm] (\bruch{5}{2})^2 [/mm] + 45 auf -4 kommst?
Danke.
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Hi, Julia,
> @Disap:
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> Kannst Du nochmal den Weg aufschreiben, wie Du von -9 -
> [mm](\bruch{5}{2})^2[/mm] + 45 auf -4 kommst?
Das ist doch bloß ein Tippfehler und muss heißen:
-9 - [mm] (\bruch{5}{2})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{45}{4} [/mm] = -4.
mfG!
Zwerglein
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