Kranke Bäume < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Mo 26.06.2006 | | Autor: | ko-al |
| Aufgabe | In einem Waldgebiet hat sich der Anteil an kranken Bäumen [mm] a_{n} [/mm] (in Prozenten) während der letzten Jahre näherungsweise durch nach der folgenden Formel entwickelt: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 0,75*a_{n} [/mm] + 20; n=1,2,3,.. ;
[mm] a_{1} [/mm] = 10.
a) Berechen Sie [mm] a_{2}, a_{3}, a_{4}
[/mm]
b) Zeigen Sie durch vollst. Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt 0 < [mm] a_{n}\le80
[/mm]
c) Beweisen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wächst.
d) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] |
Ja, also wie gesagt brauch ich hilfe bei dieser aufgabe.
Teil a) hab ich schon.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ko-al!
Woran scheitert es denn bei der vollständigen Induktion (bzw. den beiden) bei Aufgabe b)?
Der Induktionsanfang sollte ja schnell klar sein, da gilt $0 \ < \ [mm] a_1= [/mm] 10 \ [mm] \le [/mm] \ 80$ .
Beim Induktionsschritt einfach mittels Induktionsvoraussetzung abschätzen.
Zum Beispiel: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 0.75*a_n+20 [/mm] \ > \ 0.75*0+20 \ = \ 0+20 \ = \ 20$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 80$ analog.
Bei Aufgabe c) ist zu zeigen, dass gilt mit der Monotonie:
[mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Setze die Rekursionsvorschrift ein und verwende die Abschätzung aus Aufgabe b) ...
Wenn [mm] $\left< \ a_n \ \right>$ [/mm] sowohl beschränkt als auch monoton ist (siehe andere Aufgabenteile), folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
Dabei gilt dann [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ A$
Eingesetzt in die Rekursionsvorschrift ergibt dies:
$A \ = \ 0.75*A+20$
Stelle nun nach $A \ = \ ...$ um.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Mo 26.06.2006 | | Autor: | ko-al |
vielen Dank.
hab die Aufgabe gerade gelöst.
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Wie kann es denn heißen:
[mm] a_{n+1}= 0,75*a_n+ 20\ge0,75*0+20=0+20=20 [/mm] ??
ich hab doch n=1,2,3... vorgegeben.. sprich: n ist nicht null. also darf ich doch auch nicht null einsetzen, oder?!
zudem noch was...
wie kommt man von der rekursiven darstellung der folge zur expliziten, damit ich am ende [mm] a_n= [/mm] ... hab ??
vielen dank! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Di 27.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo tinkabell!
> Wie kann es denn heißen:
> [mm]a_{n+1}= 0,75*a_n+ 20\ge0,75*0+20=0+20=20[/mm] ??
>
> ich hab doch n=1,2,3... vorgegeben.. sprich: n ist nicht
> null. also darf ich doch auch nicht null einsetzen, oder?!
In dem Moment befinden wir uns doch gerade in dem Beweis nach vollständiger Induktion [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
Und genau diese Induktionsvoraussetzung wurde hier eingesetzt. Das hat mit dem $n_$ nichts zu tun.
> wie kommt man von der rekursiven darstellung der folge zur
> expliziten, damit ich am ende [mm]a_n=[/mm] ... hab ??
Das lässt sich so pauschal nicht sagen. Da muss man eventuell etwas herumprobieren.
[mm] $a_1 [/mm] \ = \ 10 \ = \ [mm] \bruch{5}{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*a_1+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*10+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{55}{2}$
[/mm]
[mm] $a_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*a_2+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{55}{2}+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{325}{8}$
[/mm]
[mm] $a_4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*a_3+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{325}{8}+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1615}{32}$
[/mm]
[mm] $a_5 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*a_4+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{1615}{32}+20 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7405}{128}$
[/mm]
Im Nenner scheint ja stets mit dem Faktor $4_$ erhöht zu werden. Im Zähler sehe ich jetzt keine Gesetzmäßigkeit ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:55 Mi 28.06.2006 | | Autor: | tinkabell |
Danke, dann werd ich damit mal weiter machen.
LG
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Also, ich komm damit nicht weiter. Ich hab jetzt alles veruscht, finde aber einfach keine explizite darstellung der folge.. kann mir jemand helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo tinkabell!
Ist denn aufgabenmäßig auch wirklich die explizite Folgenvorschrift gesucht?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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