Kraftfelder Def.bereich < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:42 So 23.10.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Betrachten sie das folgende Kraftfeld auf geeignetem Definionsbereich [mm] $D^{(1)}_{\eta} \subseteq \IR^3$:
[/mm]
[mm] $F^{1}_{\eta}:D^{(1)}_{\eta}\ni\vec [/mm] x [mm] \rightarrow r^\eta \vec [/mm] x [mm] \in\IR^3$
[/mm]
Geben sie an:
1. Den maximalen Definitionsbereich [mm] $D^{(1)}_{\eta}$
[/mm]
2. Den maximalen Bereich [mm] $C^{(1)}_{\eta}\subseteq D^{(1)}_{\eta}$ [/mm] auf dem [mm] $F^{(1)}_{\eta}$ [/mm] konservativ ist.
Dabei ist [mm] $r=\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ [/mm] und [mm] $\eta \in\IR$ [/mm] |
Hallo liebes Forum.
Soweit meine Ideen:
Angenommen [mm] $\eta [/mm] < 0$.
Ich möchte jetzt den maximalen Definitionsbereich angeben.
Mein Kraftfeld ist doch auf ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert, außer beim 0-Vektor, weil ich sonst durch 0 teile.
Stimmt dann Folgendes:
[mm] $D^{(1)}_{\eta}=\IR^3\backslash\{\vec 0 \}$ [/mm] ?
Für [mm] $\eta \ge [/mm] 0$ hätte ich dann
[mm] $D^{(1)}_{\eta}=\IR^3$
[/mm]
zu 2.
Hier habe ich jetzt doch das Problem, dass das Feld für [mm] $\eta [/mm] <0$ auf einem zweifach zusammenhängenden Bereich definiert ist.
Folgt daraus automatisch, dass das Kraftfeld nicht konservativ ist?
Wenn [mm] $\eta \ge [/mm] 0$ ist, würde ich so vorgehen:
Das Feld ist auf einem einfach zusammenhängenden Bereich definiert.
Damit das Feld konservativ ist, muss also gelten:
$rot\ [mm] \vec F^{(1)}_{\eta}(\vec [/mm] x) = [mm] \nabla\times \vec F^{(1)}_{\eta}(\vec [/mm] x) = 0$ für alle [mm] $\vec [/mm] x [mm] \in C^{(1)}_{\eta}$
[/mm]
Da [mm] $\nabla\times \vec F^{(1)}_{\eta} =\begin{pmatrix} \bruch{-2x_2 x_3}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}+\bruch{2x_2 x_3}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \\ ... \\ ... \end{pmatrix}= [/mm] 0$ für alle [mm] $\vec x\in D^{(1)}_{\eta}$ [/mm] ist wäre
[mm] $C^{(1)}_{\eta}=D^{(1)}_{\eta}$ [/mm]
oder?
Wäre nett wenn sich jemand anschauen könnte, ob das so sinn macht. Ich weiß leider nicht, ob ich prüfen kann, ob ein auf einem zweifach zusammenhängenden Gebiet definiertes Feld konservativ ist.
Müsste ich da evt mit dem Satz von Stokes arbeiten, dann aber über beide "Ränder" ein geschlossenes Integral machen das 0 sein muss?
Vielen Dank schonmal!!
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 25.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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