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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Di 11.11.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Gegeben sei das nicht konservative [mm] Kraftfeld:\vec{K}=\vektor{K_{x} \\ K_{y}}=\vektor{-y \\ x}.
[/mm]
Lösen Sie die Bewegungsgleichungen:
[mm] m\bruch{d²x}{dt²}=-y
[/mm]
[mm] m\bruch{d²y}{dt²}=x [/mm] |
Hallo!
Habe es auf 2 Möglichkeiten versucht.
Die erste: als inhomogene DGL lösen:
[mm] m\bruch{d²x}{dt²}=-y [/mm]
die zugehörige homogene: mit LA [mm] exp(\lambda*t) [/mm] --> [mm] m\lambda² [/mm] + [mm] 0\lambda [/mm] + 0 = 0
--> nur eine Lösung und zwar [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] x_{h}(t)=Aexp(0t)=A [/mm] ???
kann doch so nicht stimmen, weiss auch nicht wie ich weiter machen müsste...
DAnn mein zweiter Versuch:
Ich habe [mm] y=-m\bruch{d²x}{dt²}=y [/mm]
also ist [mm] \bruch{dy}{dt}=-m\bruch{d^{3}x}{dt^{3}}
[/mm]
und [mm] \bruch{d²y}{dt²}=-m\bruch{d^{4}x}{dt^{4}}
[/mm]
Einsetzen in [mm] m\bruch{d²y}{dt²}=x
[/mm]
--> m [mm] (-m\bruch{d^{4}x}{dt^{4}})=x
[/mm]
Jetzt habe ich eine homogene DGL:
x + [mm] m²\bruch{d^{4}x}{dt^{4}}=0
[/mm]
mit LA [mm] exp(\lambda*t) [/mm] --> [mm] \lambda² [/mm] + [mm] m²\lambda^{4}= [/mm] 0
[mm] -->\lambda^{4}=-1/m² -->\lambda^{2}=\bruch{i}{\wurzel{m}} ?oder\pm\bruch{i}{\wurzel{m}}
[/mm]
also ist [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm? \wurzel{\bruch{i}{\wurzel{m}}}
[/mm]
Das kommt mir alles nicht so vor als ob das stimmt. Könnt ihr mir helfen?
Vielen Dank
LG
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Hallo!
Dein zweiter Ansatz führt dich zur Lösung, allerdings hast du da nen Fehler:
zunächst steht da [mm] 1+m^2\lambda^4=0 [/mm] . Aber da scheinst du dich nur verschrieben zu haben.
Die Lösung ist zwar [mm] \lambda=\frac{1}{\wurzel{2}}\wurzel[4]{-1} [/mm] , aber nun mußt du dir um den letzten teil nochmal gedanken machen.
Denk nochmal über die geometrische Bedeutung der Multiplikation und demnach der Quadrierung der komplexen Zahlen nach, und dann im Umkehrschluß nochmal über das Wurzelziehen.
Es gibt insgesamt 4 Lösungen mit [mm] \lambda_{1,2,3,4}=\pm\frac{1}{{2}}\pm\frac{i}{{2}} [/mm] (für m=1)
In der Lösung brauichst du dann noch [mm] e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)
[/mm]
Das ganze scheint in die richtige Richtung zu führen, denn überlege doch mal, was in deinem Kraftfeld passiert: Die Kraft ist ein reines Wirbelfeld (tangential zu Kreisen um den Ursprung), mit zum Abstand proportionalem Betrag.
Ein Körper wird also "im Kreis" beschleunigt, und wird wegen seiner Trägheit nach außen fliegen, wo die beschleunigende Kraft noch größer ist. Von daher wäre das Auftauchen von trigonimetrischen Funktionen nicht verwunderlich.
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