Kraft auf einen Quadrupol < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte die Kraft eines Quadrupols auf einen anderen ausrechnen.
Ich möchte erst die Energie des Quadrupols im externen Feld des zweiten Quadrupols bestimmen und daraus die Kraft berechnen.
Die genaue Aufgabenstellung ist für mein Problem nicht wichtig, da ich nur einen Rechenschritt nicht verstehe.
Das Potential habe ich schon errechnet [mm] \phi(\vec{r})=a^2q\bruch{1}{r^5}(2z^2-y^2-x^2) [/mm] , [mm] |\vec{r}|=r
[/mm]
Um das E-Feld zu erhalten, gilt ja [mm] \vec{E}(\vec{r})=-\nabla\phi
[/mm]
Für die Energie des Quadrupols im E-Feld gilt [mm] E=-\bruch{1}{6}\summe_{i,j=1}^{3}Q_{i,j}\bruch{{\partial}E_{j}}{{\partial}x_{i}}
[/mm]
Um [mm] E_{1} [/mm] jetzt zu berechnen (das elektrische Feld) habe ich [mm] E_{1}=-\bruch{\partial}{{\partial}x}a^2q\bruch{1}{r^5}(2z^2-y^2-x^2) [/mm] gerechnet. In der Musterlösung steht allerdings [mm] E_{1}=-\bruch{\partial}{{\partial}x}a^2q\bruch{-x^2}{r^5}.
[/mm]
Wie man darauf kommt, ist mir ein Rätsel. [mm] r^5 [/mm] ist ja ebenfalls von x abhängig [mm] r^5=(x^2+y^2+z^2)^\bruch{5}{2}. [/mm] Es wird ja auch an den x und y ranmultipliziert und müsste in der Ableitung ebenfalls beachtet werden.
Gruß
LordPippin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Sa 24.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du [mm] E_1 [/mm] im Raum ausrechnen willst, hast du recht, wenn dus bei y=z=0 ausrechnen willst die Musterlösung. also sollte man die genaue Aufgabe vielleicht doch kennen.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Im Ursprung des KS befinde sich die Ladung -2q, auf der z-Achse darüber und darunter die Ladung +q.
Im Abstand d >> a befinde sich auf der x-Achse noch einmal die gleiche Anordnung aus den drei starr miteinander verbunden Ladungen. Berechnen Sie die elektrostatische Wechselwirkungsenergie beider Quadrupole in niedrigster nicht verschwindender Ordnung. |
Hallo,
das stimmt. Habe die Aufgabe oben abgetippt.
Mir ist jetzt nicht bei der Ableitung des E-Feldes nach einer Variablen bewusst, wieso die anderen null gesetzt wurden.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mo 26.09.2011 | | Autor: | LordPippin |
Hallo,
ich wollte die Aufgabe nur noch einmal nach vorne holen, da ich bei der Aufgabe immer noch nicht weiter gekommen bin.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 27.09.2011 | | Autor: | Dath |
Man hat zuerst differenziert und dann schlichtweg die vorgegebenen Daten benutzt, d.h., eingesetzt, und den Term vereinfacht.
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Hallo,
mir ließ die Aufgabe keine Ruhe und ich meine nun eine Lösung gefunden zu haben.
Da es sich um ein um die z-Achse rotationssymmetrisches Problem handelt, lautet die Matrix [mm] Q=\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }a^2q [/mm] und das Potential somit [mm] \phi(\vec{r})=a^2q\bruch{1}{r^5}(2z^2-x^2-y^2)
[/mm]
Für die elektrostatische Energie gilt allgemein [mm] E_{ext}=-\bruch{1}{6}\summe_{i,j=1}^{3}Q_{ij}\bruch{{\partial}E_{j}}{{\partial}x_{i}} (E_{j} [/mm] hier elektrisches Feld)
Da [mm] \vec{E}(\vec{r})=-\nabla\phi [/mm] folgt [mm] E_{j} [/mm] eingesetzt [mm] E_{ext}=\bruch{1}{6}\summe_{i,j=1}^{3}Q_{ij}\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}x_{i}{\partial}x_{j}}
[/mm]
Da die Matrix Q eine Diagonalmatrix ist kann man die Gleichung vereinfachen [mm] E_{ext}=\bruch{1}{6}\summe_{i=1}^{3}Q_{ii}\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}x_{i}^2} [/mm]
Die Summe aufgelöst und etwas gekürzt ergibt [mm] E_{ext}=\bruch{1}{3}(-\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}x^2}-\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}y^2}+2\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}z^2})a^2q
[/mm]
Da ein weit entferntes Quadrupolfeld in guter Näherung ein Zentralfeld ist, gilt [mm] \Delta\phi=0 [/mm] und umgestellt [mm] \bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}x^2}=-\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}y^2}-\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}z^2} [/mm] das eingesetzt [mm] E_{ext}=\bruch{{\partial}^2\phi}{{\partial}z^2}a^2q [/mm] das abgeleitet und [mm] \vec{d}=\vektor{d \\ 0 \\ 0} [/mm] eingesetzt ergibt [mm] E_{ext}=9\bruch{a^4q^2}{d^5}
[/mm]
Für die Kraft gilt allgemein [mm] \vec{F}=-\nabla\vec{E}. [/mm] Da die Kraft nur in x-Richtung wirkt, muss nur nach d abgeleitet werden. Somit folgt für die Kraft [mm] \vec{F}=45\bruch{a^4q^2}{d^5}\vec{e}_{x}
[/mm]
Wäre das so richtig, oder entdeckt jemand einen Fehler?
Gruß LordPippin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 06.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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