Kp. vollk. <=> Frobenius surj. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 10.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $K\:$ [/mm] Körper mit [mm] $char\:K [/mm] = p > 0$. Man zeige:
[mm] $\sigma: [/mm] K [mm] \to [/mm] K, a [mm] \mapsto a^p$ [/mm] ist surjektiv [mm] $\gdw [/mm] K$ ist vollkommen |
Hallo,
ist folgende Lösung in Ordnung?
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Sei [mm] $L/K\:$ [/mm] algebraisch und angenommen $a [mm] \in [/mm] L$ rein inseparabel über $K [mm] \Rightarrow$ [/mm] es gibt $r [mm] \in \IN: min_K(\alpha) [/mm] = [mm] X^{p^r}-a^{p^r} \in [/mm] K[X]$. Da jedoch [mm] $\sigma$ [/mm] surjektiv ist, ist [mm] $\sigma$ [/mm] als Körperhomomorphismus sogar eine Bijektion, d.h. mit [mm] $a^{p^r} \in [/mm] K$ ist bereits $a [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] K/K$ ist die maximale rein inseparable Erweiterung von [mm] $K\:$, [/mm] damit ist [mm] $K\:$ [/mm] vollkommen.
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Sei $b [mm] \in [/mm] K$. Angenommen es existiert kein $a [mm] \in [/mm] K: [mm] a^p [/mm] = b$. Betrachte [mm] $K(\sqrt[p]{b})/K$. [/mm] Es gilt [mm] $X^p-b \in [/mm] K[X]$ annuliert [mm] $\sqrt[p]{b} \Rightarrow min_K(\sqrt[p]{b}) \:|\: X^p-b [/mm] = [mm] (X-\sqrt[p]{b})^p \Rightarrow min_K(\sqrt[p]{b})$ [/mm] hat in einem alg. Abschluss von [mm] $K\:$ [/mm] nur eine Nullstelle, also ist [mm] $K(\sqrt[p]{b})/K$ [/mm] rein inseparabel im Widerspruch zur Vollkommenheit von [mm] $K\:$.
[/mm]
Stimmt das so?
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel
> Sei [mm]K\:[/mm] Körper mit [mm]char\:K = p > 0[/mm]. Man zeige:
> [mm]\sigma: K \to K, a \mapsto a^p[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw K[/mm] ist
> vollkommen
> Hallo,
>
> ist folgende Lösung in Ordnung?
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" Sei [mm]L/K\:[/mm] algebraisch und angenommen [mm]a \in L[/mm]
> rein inseparabel über [mm]K \Rightarrow[/mm] es gibt [mm]r \in \IN: min_K(\alpha) = X^{p^r}-a^{p^r} \in K[X][/mm].
> Da jedoch [mm]\sigma[/mm] surjektiv ist, ist [mm]\sigma[/mm] als
> Körperhomomorphismus sogar eine Bijektion, d.h. mit
> [mm]a^{p^r} \in K[/mm] ist bereits [mm]a \in K \Rightarrow K/K[/mm] ist die
> maximale rein inseparable Erweiterung von [mm]K\:[/mm], damit ist
> [mm]K\:[/mm] vollkommen.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]" Sei [mm]b \in K[/mm]. Angenommen es existiert kein [mm]a \in K: a^p = b[/mm].
> Betrachte [mm]K(\sqrt[p]{b})/K[/mm]. Es gilt [mm]X^p-b \in K[X][/mm]
> annuliert [mm]\sqrt[p]{b} \Rightarrow min_K(\sqrt[p]{b}) \:|\: X^p-b = (X-\sqrt[p]{b})^p \Rightarrow min_K(\sqrt[p]{b})[/mm]
> hat in einem alg. Abschluss von [mm]K\:[/mm] nur eine Nullstelle,
> also ist [mm]K(\sqrt[p]{b})/K[/mm] rein inseparabel im Widerspruch
> zur Vollkommenheit von [mm]K\:[/mm].
>
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt.
Du kannst die Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] allerdings auch als direkten Beweis formulieren: betrachte die Erweiterung [mm] $K(\sqrt[p]{b})/K$, [/mm] zeige dass das MiPo von [mm] $\sqrt[p]{b}$ [/mm] ein Teiler von [mm] $X^p [/mm] - [mm] (\sqrt[p]{b})^p$ [/mm] ist, und da $K$ vollkommen ist muss das MiPo somit Grad 1 haben, womit $K = [mm] K(\sqrt[p]{b})$ [/mm] ist.
LG Felix
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Wieso wird bei Negation von "Vollkommenheit" "rein-inseparabel" verwendet? Die Negation von vollkommen ist doch separabel, wieso unbedingt rein-inseparabel?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Fr 23.01.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wieso wird bei Negation von "Vollkommenheit"
> "rein-inseparabel" verwendet? Die Negation von vollkommen
> ist doch separabel, wieso unbedingt rein-inseparabel?
Wenn ein Körper nicht vollkommen ist, dann läßt er Erweiterungen zu, die nicht separabel sind. Jede Erweiterung ist aber separabel über einer rein-inseparablen Erweiterung, also gibt es Elemente, die rein-inseparabel sind.
Gruß aus HH
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, danke für die Korrektur und den Hinweis.
LG Lippel
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