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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Sa 11.06.2011 | | Autor: | SamGreen |
| Aufgabe | In einem Betrieb wird der Kostenverlauf K(x) = [mm] 0,25x^3 [/mm] - [mm] 90x^2 [/mm] + 29125x + 180500 vermutet.
Ermittle rechnerisch bzw. graphisch:
(1) Bei welcher Absatzmenge wird für einen Preis von 25000 GE/ME maximaler Gewinn erzielt?
(2) Wie weit könnte der Preis fallen, damit der Betrieb gerade noch verlustfrei arbeiten kann! |
Meine Ideen:
Also - (1) war eh kein Problem - da habe ich das Ergebnis 214,33 ME bekommen.
aber ich habe Schwierigkeiten bei (2) wie berechne ich das? Hier sollte man nämlich das Ergebnis 22 000 ? heraus bekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Sa 11.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast ja die Erlösfunktion E(x)=25000x
Und damit die Gewinnfunktion G(x)=E(x)-K(x).
Nun nenne wir den gesuchten Preis mal p, dann ist die Erlösfunktion ja E(x)=px
Also ist die Gewinnfuktion:
G(x)=px-0,25x³+90x²-29125x-180500
=-0,25x³+90x²+(p-29125)x-180500
Nun soll das p so bestimmt werden, dass du im Maximum keine Verluste einfährst, also soll das Gewinnmaximum 0 betragen.
Dazu mal die Ableitung:
G'(x)=-0,75x²+180x+(p-125)
Insgesamt suchst du also ein p für das die Ableitung genau eine Nullstelle hat, denn dann gibt es gerade noch ein Gewinnmaximum.
Also:
[mm] -\frac{3}{4}x^{2}+180x+(p-125)=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}-240x+\frac{4(p-125)}{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=120\pm\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}
[/mm]
Nun willst du gerade eine Nullstelle haben, also muss der Radikand =0 sein, damit kannst du dann das p bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Sa 11.06.2011 | | Autor: | SamGreen |
Also - mir ist deine Lösung durchaus logisch erschienen, aber wenn ich den Radikand ausrechne - dann bekomme ich als Ergebnis 10925 €.
Aber die Lösung sollte ja 22000€ sein?
kannst du mir bitte das noch erläutern. Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Sa 11.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Ihr
Angelas Einwand ist durchaus berechtigt, da hatte ich was übersehen.
Aber dennöch kann man das Maximum so legen, dass der Hochpunkt die y-Koordinate Null hat.
Wir hatten:
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=120\pm\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}} [/mm]
Der "Kandidaten" für die Extremstellen sind also diese beiden Werte.
die zweite Ableitung ergibt dann:
[mm] -1,5\cdot\left(120\pm\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)+180 [/mm]
Wenn f''(x)<0 ist, ergibt sich also ein Maximum, also
[mm] -1,5\cdot\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)+180<0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -1,5\cdot\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)<-180
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}>120
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow +\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}>0
[/mm]
Und das ist (sofern die Wurzel überhaupt definiert ist) eine Wahre Aussage, also ist
[mm] 120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}} [/mm] die Maximumsstelle.
Die Aussage: [mm] -1,5\cdot\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)+180>0 [/mm] führt zu einer Falschen Gleichung.
Bestimme also nun p so, dass:
[mm] f\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)=0
[/mm]
Ich weiss, die Lösung ist nicht schön und auch nicht wirklich elegant, aber sie sollte dein Problem lösen.
Marius
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> Aber dennöch kann man das Maximum so legen, dass der
> Hochpunkt die y-Koordinate Null hat.
Man muß es sogar so tun!
Gruß v. Angela
>
> Wir hatten:
>
> [mm]\Rightarrow x_{1;2}=120\pm\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}[/mm]
>
> Der "Kandidaten" für die Extremstellen sind also diese
> beiden Werte.
>
> die zweite Ableitung ergibt dann:
>
> [mm]-1,5\cdot\left(120\pm\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)+180[/mm]
>
> Wenn f''(x)<0 ist, ergibt sich also ein Maximum, also
>
> [mm]-1,5\cdot\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)+180<0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow -1,5\cdot\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)<-180[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}>120[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow +\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}>0[/mm]
>
> Und das ist (sofern die Wurzel überhaupt definiert ist)
> eine Wahre Aussage, also ist
> [mm]120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}[/mm] die Maximumsstelle.
>
> Die Aussage:
> [mm]-1,5\cdot\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)+180>0[/mm]
> führt zu einer Falschen Gleichung.
>
> Bestimme also nun p so, dass:
>
> [mm]f\left(120+\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}\right)=0[/mm]
>
> Ich weiss, die Lösung ist nicht schön und auch nicht
> wirklich elegant, aber sie sollte dein Problem lösen.
>
> Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 12.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
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> > Aber dennöch kann man das Maximum so legen, dass der
> > Hochpunkt die y-Koordinate Null hat.
>
> Man muß es sogar so tun!
>
> Gruß v. Angela
>
Ich wollte doch nur sagen, dass mein Grundansatz in der Tat funktioniert, wenn er auch nicht elegant ist 
Danke nochmal für die ersten Korrekturen.
Marius
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> Nun nenne wir den gesuchten Preis mal p, dann ist die
> Erlösfunktion ja E(x)=px
>
> Also ist die Gewinnfuktion:
>
> G(x)=px-0,25x³+90x²-29125x-180500
> =-0,25x³+90x²+(p-29125)x-180500
>
> Nun soll das p so bestimmt werden, dass du im Maximum keine
> Verluste einfährst, also soll das Gewinnmaximum 0
> betragen.
>
> Dazu mal die Ableitung:
> [mm] G'(x)=-0,75x²+180x+(p-\red{29}125)
[/mm]
Hallo,
bis hierher ist alles bis auf den Tippfehler in bester Ordnung.
Insbesondere sollte man sich merken, daß für die noch zu berechnende Maximalstelle [mm] x_{max} [/mm] gelten soll: [mm] G(x_{max})=0.
[/mm]
Damit sollte die Vorgehensweise stehen: Maximalstelle in Abhängigkeit von p ermitteln, diese in G einsetzen und die Gleichung [mm] G(x_{max})=0 [/mm] nach p auflösen.
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> Insgesamt suchst du also ein p für das die Ableitung genau
> eine Nullstelle hat, denn dann gibt es gerade noch ein
> Gewinnmaximum.
Nein, das ist nicht richtig.
Mehr als ein Max. kann man doch bei einem Polynom dritten Grades sowieso nicht bekommen.
>
> Also:
>
> [mm]-\frac{3}{4}x^{2}+180x+(p-125)=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{2}-240x+\frac{4(p-125)}{3}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1;2}=120\pm\sqrt{14400-\frac{4p-500}{3}}[/mm]
>
> Nun willst du gerade eine Nullstelle haben,
So rechnet man doch gerade aus, wie p sein muß, damit man an der Stelle x=120 einen Sattelpunkt hat.
Gruß v. Angela
> also muss der
> Radikand =0 sein, damit kannst du dann das p bestimmen.
>
> Marius
>
>
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