Kosinussumme < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | schönen guten abend, kann dies noch vereinfacht werden:
[mm] \bruch{\cos{nx}-\cos{(nx+x)}-\cos{x}+1}{{2-2\cos{x}}} [/mm] |
darauf bin ich nach gefühlt 1000 umformungen von [mm] \summe_{k=0}^{n}\cos{kx} [/mm] gekommen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lovella |
wenn jemand der meine frage gelesen hat, sich kompetent bei dem thema fühlt und keine möglichkeit zu vereinfachung sieht, kann derjenige das ruhig als antwort schreiben 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Sa 07.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> schönen guten abend, kann dies noch vereinfacht werden:
>
> [mm]\bruch{\cos{nx}-\cos{(nx+x)}-\cos{x}+1}{{2-2\cos{x}}}[/mm]
> darauf bin ich nach gefühlt 1000 umformungen von
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\cos{kx}[/mm] gekommen...
Ja, das ist schon das richtige Ergebnis. Du kannst noch
[mm] \cos{(nx+x)} = \cos nx \cos x -\sin nx \sin x [/mm]
schreiben und, soweit möglich, in Zähler und Nenner [mm] $1-\cos [/mm] x$ ausklammern:
[mm] \bruch{1}{2} +\bruch{1}{2}\cos nx + \bruch{\sin nx \sin x}{2-2\cos x} [/mm] .
Ferner ist [mm] $\sin [/mm] x = [mm] 2\sin\bruch{x}{2}\cos\bruch{x}{2}$ [/mm] und [mm] $1-\cos [/mm] x=2 [mm] \sin^2 \bruch{x}{2}$, [/mm] und daher dein Ergebnis
[mm] = \bruch{1}{2} +\bruch{1}{2}\cos nx +\bruch{1}{2} \bruch{\sin nx \cos\bruch{x}{2}}{\sin\bruch{x}{2}} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} \bruch{\cos nx\sin\bruch{x}{2}+\sin nx \cos\bruch{x}{2}}{\sin\bruch{x}{2}}[/mm]
[mm] = \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2}\bruch{\sin(n+\bruch{1}{2})x}{\sin\bruch{x}{2}}[/mm] .
Ein Tipp zur Vermeidung der 1000 gefühlten Umformungen:
Da [mm] $e^{ikx} [/mm] = [mm] \cos [/mm] kx + [mm] i\sin [/mm] kx $ ist, ist [mm] $\cos [/mm] kx = [mm] \mathop{\mathrm{Re}} e^{ikx} [/mm] = [mm] \mathop{\mathrm{Re}} (e^{ix})^k$ [/mm] und daher
[mm] \summe_{k=0}^{n}\cos{kx} = \mathop{\mathrm{Re}} \summe_{k=0}^{n} (e^{ix})^k = \mathop{\mathrm{Re}} \bruch{1-(e^{ix})^{n+1}}{1-e^{ix}} [/mm] .
Durch Erweitern des Bruches mit [mm] $1-e^{-ix}$ [/mm] wird der Nenner reell:
[mm] = \mathop{\mathrm{Re}} \bruch{(1-e^{i(n+1)x})(1-e^{-ix})}{(1-e^{ix})(1-e^{-ix})} = \mathop{\mathrm{Re}} \bruch{1-e^{i(n+1)x}-e^{-ix}+e^{inx}}{2-2\cos x} [/mm]
[mm] = \bruch{1-\cos(n+1)x -\cos x +\cos nx}{2-2\cos x} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lovella |
dankeschön Rainer ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
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