Korrelation von ZV'en < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Anselmus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen:
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung:
Gegeben sind 2 Zufallsvariablen X und Y, wobei X~N(0,1) und Y~N(mü,sigma) ist. Der Korrelationskoeffizient von X und Y ist rho.
Mich interessiert nun, warum unter der Bedingung X=x für die Verteilung von Y gilt: Y~N(mü+rho*sigma*x, [mm] sigma^2*\wurzel{1-rho^2}.
[/mm]
Für den unkorrelierten Fall (rho=o) ist das ja sofort klar, aber sonst!? Warum ist das so? Bin für jede Erklärung dankbar.
Viele Grüße
Anselmus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, das ist nicht schwierig. In Verteilung gilt:
$(X,Y) [mm] \stackrel{d}{=} (X_2,\mu [/mm] + [mm] \sqrt{1-\rho^2}\sigma X_1 +\rho \sigma X_2)$,
[/mm]
wobei [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] unabhängig standardnormalverteilt sind.
Daraus folgt unmittelbar:
$Vert(Y|X=x) = [mm] N(\mu [/mm] + [mm] \rho \sigma x,\sqrt{1-\rho^2} \sigma)$.
[/mm]
Beachte bitte, dass du da einen Schreibfehler hattest. Bei dir stand am Schluss [mm] $\sigma^2$. [/mm] Ich denke aber, ausgehend vom Rest deines Beitrages, dass [mm] $N(\mu,\sigma)$ [/mm] bei euch die Notation ist und nicht [mm] $N(\mu,\sigma^2)$, [/mm] oder?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 12.05.2005 | | Autor: | Anselmus |
Hi Stefan!
Erstmal danke für deine schnelle Antwort.
Ich dachte mir schon, daß das nicht so schwer ist (umso mehr hat es mich gewurmt) ! 
Ich habe aber doch noch eine Frage zu deiner Antwort:
Warum gilt denn die von dir genannte Gleichung in Verteilung???
Viele Grüße und nochmals vielen Dank
Anselmus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Anselmus!
Beide bivariaten Zufallsvariablen sind Gaußsch - klar.
Zwei bivariate Gaußsche Zufallsvariablen sind aber genau dann gleich, wenn
a) beide Komponenten den gleichen Erwartungswert haben,
b) beide Komponenten die gleiche Varianz haben,
c) der Korrelationskoeffizient übereinstimmt.
Das ist hier der Fall. Wenn du Probleme haben solltest, a)-c) nachzuweisen, dann melde ich bitte wieder. Ich erkläre es dir dann.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 12.05.2005 | | Autor: | Anselmus |
Hi Stefan!
Beweis von a) - c) ist mir klar! Ich habe aber noch eine fundamentale Frage zu deiner Antwort:
> Beide bivariaten Zufallsvariablen sind Gaußsch - klar.
Wenn X und Y normalverteilt sind (und nur das plus Korrelationskoeffizient gegeben ist), muß dann zwangsläufig die gemeinsame Verteilung von X und Y auch (bivariat) normalverteilt sein? Ich dachte, dass muß nicht der Fall sein?
Viele Grüße
Anselmus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Anselmus!
Ja, das hast du Recht, das muss unter diesen Voraussetzungen nicht der Fall sein.
Ich behaupte aber mal, dass dann die bedingte Verteilung auch nicht zwangsläufig so aussehen muss, wie angegeben. 
Insofern ist meine Vermutung derart, dass die Aufgabenstellung unvollständig ist.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Do 12.05.2005 | | Autor: | Anselmus |
Hervorragend, daß ist nämlich auch meine Vermutung gewesen. So mal schaun, was ich für weitere Fehler in diesem Paper finde. Bearbeite nämlich grad für eine Seminararbeit ein Paper über ein Bewertungsmodell für CDO's.
Viele Grüße und vielen Dank
Anselmus
"Das ist Leben ist wie ein Theaterspiel: besser bunt als lang!" (J.P. Sartre)
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