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Hallo!
Ich hoffe, jemand kann mir bei folgenden Aufgaben helfen:
1. Geben Sie ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen an, welche unkorreliert (Korrelation Null), aber nicht unabhängig sind!
Ich kann mir leider unter Korrelation nicht viel vorstellen. Ich weiß nur, dass, wenn X und Y unabhängig sind ihre Korrelation Null ist. Das gilt aber nicht umgekehrt.
2. X und Y seien Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, [mm] \cal{A}, \cal{P}) [/mm] mit endlicher Varianz [mm] sigmaX^{2} [/mm] bzw. [mm] sigmaY^{2}. [/mm] Für welche reellen Zahlen ist E[ [mm] (Y-aX-b)^{2}] [/mm] minimal und wie groß ist dieses Minimum?
Ich denke, da muss man irgendeine Funktion bilden, die minimal werden soll und dann ihr Minimum bestimmen (mit Ableitung?)...
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 So 29.05.2005 | | Autor: | andibar |
Hallo!
Ich hoffe, dass ich Dir etwas helfen kann, unter Korrelation versteht man die Produkt-Moment-Korrelation nach Pearson mit folgender Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{ (x_{i}- \overline{x})(y_{i}- \overline{y})}\wurzel{(x_{i}- \overline{x})^2(y_{i}- \overline{y})^2}
[/mm]
also die Kovarianz geteilt durch das Produkt der Standardabweichungen.
Diese Formel liefert einen Koeffizienten zwischen -1, also ein perfekter negativer linearer Zusammenhang;
0, also kein linearer Zusammenhang
und 1, ein perfekter positiver linearer Zusammenhang.
Deine Frage lautete:
1. Geben Sie ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen an, welche unkorreliert (Korrelation Null), aber nicht unabhängig sind!
Wie erwähnt, erkennt dieses Maß keine nicht-linearen Zusammenhänge.
Dazu fällt mir ein, dass ein nicht-linearer z.B. ein exponentieller Zusammenhang einen Korrelationskoeffizient von Null zur Folge haben kann, obwohl eine stochastische Abhängigkeit besteht.
Ich hoffe, dass diese nicht-mathematische Idee nicht zu trivial ist.
Mit der anderen Frage, kann ich leider nicht viel anfangen, aber es gibt hier ja viele kompetente Helfer... 
Viele Grüße
Andi
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Hallo!
> 1. Geben Sie ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen an,
> welche unkorreliert (Korrelation Null), aber nicht
> unabhängig sind!
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> Ich kann mir leider unter Korrelation nicht viel
> vorstellen. Ich weiß nur, dass, wenn X und Y unabhängig
> sind ihre Korrelation Null ist. Das gilt aber nicht
> umgekehrt.
Andibar hat die empirischen Formeln aufgeschrieben. Die Korrelation ist 0, wenn die Kovarianz den Wert 0 hat, d.h. wenn
$Cov(X,Y):=E(XY)-E(X)E(Y)=0$
gilt. Ein Gegenbeispiel kann man mit Hilfe eines diskret verteilten Zufallsvektors (X,Y) angeben, der zB nur die Werte (0,-1), (-1,0),(0,1),(1,0) mit positiver Wkt. annimmt. Probier einfach mal ein wenig rum. Sicherlich geht es auch über den Weg, den Andibar vorgeschlagen hat. Betrachte z.B. $X$ und [mm] $X^2$ [/mm] oder $X$ und $|X|$ für eine (möglichst unkompliziert vertteilte) Zufallsvariable $X$.
>
> 2. X und Y seien Zufallsvariablen auf einem diskreten
> Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, [mm]\cal{A}, \cal{P})[/mm] mit
> endlicher Varianz [mm]sigmaX^{2}[/mm] bzw. [mm]sigmaY^{2}.[/mm] Für welche
> reellen Zahlen ist E[ [mm](Y-aX-b)^{2}][/mm] minimal und wie groß
> ist dieses Minimum?
>
> Ich denke, da muss man irgendeine Funktion bilden, die
> minimal werden soll und dann ihr Minimum bestimmen (mit
> Ableitung?)...
Ja, genau. Multipliziere am besten erst mal innerhalb des Erwartungswertes aus und benutze die Linearität des Erwartungswertes. Dann wirst Du besser erkennen, wie die Abhängigkeit von a und b aussieht. Jetzt musst Du in zwei Dimensionen (a und b) minimieren, zB über die partiellen Ableitungen.
Viele Grüße
Brigitte
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Ehrlich gesagt bin ich noch immer so ziemlich ratlos.
In der ersten Aufgabe weiß ich gar nicht, wie ich die Zufallsvariablen definieren und das dann in die Gleichung für die Kovarianz (muss ja 0 sein) einsetzen soll.
Bei der zweiten Aufgabe habe ich die binomische Formel gelöst, weiß aber dann auch nicht so recht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ist $X$ standarnomalverteilt, dann betrachte $Y=|X|$. Natürlich sind $X$ und $Y$ nicht unabhängig
(zum Beispiel gilt : [mm] $P(X\le [/mm] -4,Y [mm] \le [/mm] 2) = 0 [mm] \ne P(X\le [/mm] -4) [mm] \cdot P(Y\le [/mm] 2)$,
aber wir haben:
$Cov(X,Y) = Cov(X,|X|)= [mm] \underbrace{E[X\cdot |X|]}_{=\, 0} [/mm] - [mm] \underbrace{E[X]}_{=\, 0} \cdot [/mm] E[|X|] = 0$,
da sowohl $X [mm] \cdot [/mm] |X|$ als auch $X$ symmetrisch zum Nullpunkt verteilt sind, d.h. $X$ und $Y$ sind unkorreliert.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Dea |
Wenn es dir weiterhilft, kann ich dir die konkreten Werte für a und b (im 2. Teil der Aufgabe) sagen (ich muss zur Zeit die gleiche Aufgabe lösen), nachrechnen musst du aber dann selber 
Also [mm] E((Y-a-bX)^2) [/mm] wird minimal für b=Cov(X,Y) und a=E(Y-bX)
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Und kannst du mir vielleicht 'nen Tip geben, wie man darauf kommt?
Wenn ich die binomische Formel auflöse erhalte ich ja
[mm] Y^{2} [/mm] + [mm] a^{2}X^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] - 2YaX - 2Yb + 2aXb .
Muss ich das dann schon nach a und b ableiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 31.05.2005 | | Autor: | Dea |
nein, jetzt musst du erst einmal anwenden, dass der Erwartungswert linear ist, also
[mm] E(Y^2+a^2+(bX)^2-2aY-2bXY+2abX) [/mm] = [mm] E(Y^2)+a^2+(b^2)E(X^2)-2aE(Y)-2bE(XY)+2abE(X)
[/mm]
Das kannst du jetzt als Funktion G(a,b) betrachten und die partiellen Ableitungen bilden und so kommst du auf die Ergebnisse für a und b
ACHTUNG: Bei uns war eine Voraussetzung, dass V(X)=1, also die Varianz=1 ist. Wenn das bei dir keine Voraussetzung ist, bekommst du für
[mm] b=\bruch{Cov(X,Y)}{V(X)}
[/mm]
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