Korrektur verschiedener Aufgab < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:42 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Summer1990 |
Hallo
ich schreibe diese Woche eine Mathearbeit und wir haben dazu ein Übungsblatt bekommen. Allerdings fallen die nächsten Mathestunden bei uns aus, sodass wir die Aufgaben nicht mehr kontrollieren können. Deshalb wäre es super, wenn sich jemand mal folgendes anschauen könnte. Ich weiß es ist ein bisschen mehr als eine Aufgabe aber ihr müsst euch ja auch nicht alles anschauen freue mich schon über die Korrektur von ein paar Aufgaben :)
1. Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(-3,4,5) B5,6,15) und C (3,4,17)
a) Berechne das Maß des Dreieckwinkels in A
Lösung: [mm] cos(\alpha)= \overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}:|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}= \vec{b}-\vec{a}= \vektor{8 \\ 2 \\ 10}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}= \vec{c}-\vec{a}= \vektor{6 \\ 0 \\ 12}
[/mm]
--> [mm] cos(\alpha)= 168:(\wurzel{168}*\wurzel{180})
[/mm]
--> [mm] (\alpha)\approx [/mm] 15°
b)Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks:
A= [mm] \bruch{3}{4}*\wurzel{\overrightarrow{AB}^2*\overrightarrow{AC}^2-(\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC})^2}
[/mm]
Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a}= \vektor{1 \\ k \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{b}= \vektor{-2 \\ k \\ 2}
[/mm]
[mm] \vec{c}= \vektor{2+k \\ 3 \\ -2}
[/mm]
a) Für welche k sind die 3 Vekotren l.a?
Hab das ganze mit [mm] (\vec{a}x\vec{b})*\vec{c}=0 [/mm] versucht
hatte dann beim spatprodukt: [mm] 3k^2-4k-12 [/mm] als ergebnis das ganze = 0 gesetzt und aufgelöst und als ergebnis k= 2,78 oder k=-1,44
?!?!?!
b) Wie verlaufen die Pfeile der Vekotren a,b,c die vom selben Punkt ausgehen wenn k=6 ist
??!?! in einer Ebene?! weiß nicht was hier hin muss^^
c) Stell eim Fall k=6 den Vektor c als Linearkombination der übrigen dar:
Lösung:
[mm] \vektor{8 \\ 3 \\ -2}= r*\vektor{1 \\ 6 \\ 1}+ s*\vektor{-2 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
r-2s= 8
6r+6s= 3
r+2s= -2
nach dem auflösen hab ich raus r= 3 und 2= -5/2
Somit gilt: [mm] \vektor{8 \\ 3 \\ -2}= (-5/2)*\vektor{1 \\ 6 \\ 1}+ 3*\vektor{-2 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
d) Welche Rechenverfahren kennst du um drei Vektoren auf l. Abhängigkeit zu untersuchen:
Hier hab ich folgendes gedacht:
1) Spatprodukt= 0
2) Linearkombination also wie bei c
3) Nullvektor als Linearkombination der Vektoren also zb:
[mm] \alpha*\vec{a}+\beta*\vec{b}+\gamma*\vec{c}= \vec{0}
[/mm]
So ich hoffe ich bekomm ein paar Antworten würde mich freuen
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Summer,
> Hallo
>
> ich schreibe diese Woche eine Mathearbeit und wir haben
> dazu ein Übungsblatt bekommen. Allerdings fallen die
> nächsten Mathestunden bei uns aus, sodass wir die Aufgaben
> nicht mehr kontrollieren können. Deshalb wäre es super,
> wenn sich jemand mal folgendes anschauen könnte. Ich weiß
> es ist ein bisschen mehr als eine Aufgabe aber ihr müsst
> euch ja auch nicht alles anschauen freue mich schon über
> die Korrektur von ein paar Aufgaben :)
>
> 1. Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(-3,4,5)
> B5,6,15) und C (3,4,17)
>
> a) Berechne das Maß des Dreieckwinkels in A
> Lösung: [mm]cos(\alpha)= \overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}:|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}= \vec{b}-\vec{a}= \vektor{8 \\ 2 \\ 10}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}= \vec{c}-\vec{a}= \vektor{6 \\ 0 \\ 12}[/mm]
>
> --> [mm]cos(\alpha)= 168:(\wurzel{168}*\wurzel{180})[/mm]
> -->
> [mm](\alpha)\approx[/mm] 15°
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks:
>
> A=
> [mm]\bruch{3}{4}*\wurzel{\overrightarrow{AB}^2*\overrightarrow{AC}^2-(\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC})^2}[/mm]
Wie kommst Du an dieser Formel?
>
> Gegeben sind die Vektoren [mm]\vec{a}= \vektor{1 \\ k \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vec{b}= \vektor{-2 \\ k \\ 2}[/mm]
> [mm]\vec{c}= \vektor{2+k \\ 3 \\ -2}[/mm]
>
> a) Für welche k sind die 3 Vekotren l.a?
> Hab das ganze mit [mm](\vec{a}x\vec{b})*\vec{c}=0[/mm] versucht
>
> hatte dann beim spatprodukt: [mm]3k^2-4k-12[/mm] als ergebnis das
> ganze = 0 gesetzt und aufgelöst und als ergebnis k= 2,78
> oder k=-1,44
> ?!?!?!
Hier hast Du Dich wohl verrechnet. Ich erhalte die Gleichung $ [mm] k^2 [/mm] -4k-12=0 $
>
> b) Wie verlaufen die Pfeile der Vekotren a,b,c die vom
> selben Punkt ausgehen wenn k=6 ist
> ??!?! in einer Ebene?! weiß nicht was hier hin muss^^
Da k=6 eine Lösung für a) ist, liegen die drei Pfeile in einer Ebene.
>
> c) Stell eim Fall k=6 den Vektor c als Linearkombination
> der übrigen dar:
> Lösung:
>
> [mm]\vektor{8 \\ 3 \\ -2}= r*\vektor{1 \\ 6 \\ 1}+ s*\vektor{-2 \\ 6 \\ 2}[/mm]
>
> r-2s= 8
> 6r+6s= 3
> r+2s= -2
>
> nach dem auflösen hab ich raus r= 3 und 2= -5/2
>
> Somit gilt: [mm]\vektor{8 \\ 3 \\ -2}= (-5/2)*\vektor{1 \\ 6 \\ 1}+ 3*\vektor{-2 \\ 6 \\ 2}[/mm]
Hier musst Du Dich auch verrechnet haben, denn die erste Zeile passt schon nicht. Der Ansatz ist aber richtig.
>
> d) Welche Rechenverfahren kennst du um drei Vektoren auf l.
> Abhängigkeit zu untersuchen:
> Hier hab ich folgendes gedacht:
> 1) Spatprodukt= 0
> 2) Linearkombination also wie bei c
> 3) Nullvektor als Linearkombination der Vektoren also zb:
> [mm]\alpha*\vec{a}+\beta*\vec{b}+\gamma*\vec{c}= \vec{0}[/mm]
Bei 3) fehlt noch ein ganz wesentlicher Teil. Die Vektoren sind linear abhängig, wenn die Gleichung
[mm]\alpha*\vec{a}+\beta*\vec{b}+\gamma*\vec{c}= \vec{0}[/mm]
eine nichttriviale Lösung hat, d.h. wenn es eine Lösung gibt, bei der wenigstens ein Koeffizient ungleich 0 ist.
Gruß
Sigrid
>
> So ich hoffe ich bekomm ein paar Antworten würde mich
> freuen
>
> lg
|
|
|
| |
|
hallo
danke für deine antwort :)
meine rechenfehler hab ich auch gleich schon entdeckt^^ ;)
bei dem flächeninhalt hab ich mich verschrieben
dort sollte vor die wurzel eigentlich (1/2) und als ergebnis hätte ich dann 22,4? wär das so richtig? oder war die ganze formel falsch?
lg :)
|
|
|
| |
|
Hallo, deine Fläche ist korrekt, ich habe [mm] 0,5*|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|*sin(\alpha) [/mm] gerechnet, geht an der Stelle schneller, du hast doch schon die Teilergebnisse, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Di 16.09.2008 | | Autor: | Summer1990 |
ok vielen dank :)
joa stimmt geht schneller, aber so bekomm ich die Formel für den Flächeninhalt auch in den Kopf :P
lg
|
|
|
|
