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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Korrektheit der Substitution
Korrektheit der Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Korrektheit der Substitution: Rückfrage. Absicherung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 So 08.02.2015
Autor: PeterPaul

Aufgabe
Lösen sie  das AWP durch seperation

[mm] $y'(x)=(y(x)+x)^2-1$ [/mm]  mit $y(0)=1$


hallo ich brauche eine Vergewisserung ,ob meine lösung formal korrekt ist.


[mm] $y'(x)=(y(x)+x)^2-1$ [/mm]

$z= y(x)+x [mm] \Rightarrow [/mm] z'= y(x)'+1$

$z'= y(x)'+1 [mm] \Rightarrow [/mm]   z'= [mm] z^2 [/mm] -1+1$

[mm] $\gdw [/mm] z'= [mm] z^2 [/mm] = [mm] \underbrace{1}_{=f(x)}*\underbrace{z^2}_{=g(z)}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \integral_{1}^{z}{\frac{1}{t^2} dt}|_{t^2=z^2} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{1 dx}$ [/mm]

[mm] $\gdw |-\frac{1}{t}|_{1}^{z} [/mm] = x$

[mm] $\gdw -\frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{1}{1} [/mm] = x$

[mm] $\gdw -\frac{1}{z} [/mm] = x-1$  [mm] $|\cdot{}(-1)$ [/mm]

[mm] $\gdw [/mm]  z =  [mm] \frac{1}{(-x+1)}$ [/mm]

z resubstituiert

[mm] $\Rightarrow [/mm] y(x)+x = [mm] \frac{1}{(-x+1)}$ [/mm]   $| -x$

[mm] $\gdw [/mm]  y(x) = [mm] \frac{1}{(-x+1)}-x [/mm] $

kann man das so machen,wie ich,dass man direkt die grenzen einsetzt und dann die konstante wegfallen lassen kann?

        
Bezug
Korrektheit der Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 So 08.02.2015
Autor: notinX

Hallo,


> Lösen sie  das AWP durch seperation
>  
> [mm]y'(x)=(y(x)+x)^2-1[/mm]  mit [mm]y(0)=1[/mm]
>  
> hallo ich brauche eine Vergewisserung ,ob meine lösung
> formal korrekt ist.
>  
>
> [mm]y'(x)=(y(x)+x)^2-1[/mm]
>
> [mm]z= y(x)+x \Rightarrow z'= y(x)'+1[/mm]
>  
> [mm]z'= y(x)'+1 \Rightarrow z'= z^2 -1+1[/mm]
>  
> [mm]\gdw z'= z^2 = \underbrace{1}_{=f(x)}*\underbrace{z^2}_{=g(z)}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \integral_{1}^{z}{\frac{1}{t^2} dt}|_{t^2=z^2} = \integral_{0}^{x}{1 dx}[/mm]
>  
> [mm]\gdw |-\frac{1}{t}|_{1}^{z} = x[/mm]
>  
> [mm]\gdw -\frac{1}{z} + \frac{1}{1} = x[/mm]
>  
> [mm]\gdw -\frac{1}{z} = x-1[/mm]  [mm]|\cdot{}(-1)[/mm]
>  
> [mm]\gdw z = \frac{1}{(-x+1)}[/mm]
>
> z resubstituiert
>
> [mm]\Rightarrow y(x)+x = \frac{1}{(-x+1)}[/mm]   [mm]| -x[/mm]
>  
> [mm]\gdw y(x) = \frac{1}{(-x+1)}-x[/mm]
>  
> kann man das so machen,wie ich,dass man direkt die grenzen
> einsetzt und dann die konstante wegfallen lassen kann?

Ja, in dem Fall hast Du ja die Konstante schon zu c=1 bestimmmt.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Korrektheit der Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 So 08.02.2015
Autor: PeterPaul

dank dir ! :)

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