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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Sofie33 |
| Aufgabe | Im Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 4 seien die beiden Basen B [mm] =(1,x,x^2,x^3,x^4) [/mm] und [mm] B'=(1,(x-1),(x-1)^2,(x-1)^3,(x-1)^4) [/mm] gegeben.
Bestimmen sie Koordinatenvektoren von [mm] p'=(x+2)^4-(x+2)^2+(x+2)+5
[/mm]
und [mm] p=2x^3-3x+1 [/mm] bezüglich B und B'. Bestimmen Sie das Polynom q mit
[mm] q=\vektor{2\\1\\-1\\2\\3}B' [/mm] |
Also ich hab das bis jetzt so gerechnet und vielleicht kann mir einer sagen ob ich das richtig gemacht hab.
[mm] p(x)_{B}=a_{o}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4=\vektor{a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}}
[/mm]
Bei [mm] p(x)_{B'} [/mm] hab ich folgendes gemacht:
[mm] a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4 [/mm] = [mm] a'_{0}+a'_{1}(x-1)+a'_{2}(x-1)^2+a'_{3}(x-1)^3+a'_{4}(x-1)^4
[/mm]
Das hab ich aufgelöst und je [mm] a_{0} [/mm] bis [mm] a_{4} [/mm] bestimmt, das wäre dann:
[mm] p(x)_{B'}=\vektor{a_{o}+a_{1}-3a_{2}-5a_{3}+39a_{4}\\a_{1}+2a_{2}+3a_{3}-26a_{4}\\a_{2}+3a_{3}-12a_{4}\\a_{3}+2a_{4}\\a_{4}}
[/mm]
Dann setze ich jeweils die a{0} bis [mm] a_{4} [/mm] ein dann erhalte ich:
[mm] p(x)_{B}=\vektor{1\\-3\\0\\2\\0}
[/mm]
[mm] p(x)_{B'}=\vektor{12\\3\\4\\2\\0}
[/mm]
[mm] p'(x)_{B}=\vektor{19\\1\\-1\\0\\1}
[/mm]
[mm] p'(x)_{B'}=\vektor{62\\-27\\-13\\2\\1}=\vektor{31\\-13,5\\-6,5\\1\\0,5}
[/mm]
Ich weiß nich ob ich das so richtig gemacht hab und wie bekomme ich das Polynom zu q raus? Wäre ja eigendlich der umgedrehte Weg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 19.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Sophie,
mich würde als erstes interessieren, an welcher Uni und in welchem Kurs so etwas im Hauptstudium gemacht wird.
Das ist gerade mal etwas anspruchsvolleres Schulniveau.
Wenn du tatsächlich Mathematik studierst, beantwortest du die Frage mit einem Satz:
Die Koeffizienten der (endlichen) Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 0 bzw. 1 liefern die gesuchten Koordinatenvektoren.
Für die letzte Frage ist schlicht die zum gegebenen Koordinatenvektor gehörende Linearkombination der Basisvektoren zu bilden.
Einem Schüler müßte man das natürlich anders erklären 
Aber unsere Erklärungen hier orientieren sich natürlich am angegebenen Background.
LG
Will
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