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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 27.04.2016 | | Autor: | sanadros |
| Aufgabe | Wir betrachten die Gleichung:
3 [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(x,y) [/mm] - 4 [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)=0 [/mm] in [mm] \IR^{2}. [/mm] (1)
(a) Zeigen Sie, dass (1) mit Hilfe der folgenden Koordinatentransformation
[mm] \xi [/mm] = 3x-4y, [mm] \eta [/mm] = 4x+3y
in folgende PDGl in den neuen Koordinaten [mm] (\xi, \eta) [/mm] umgewandelt werden kann:
[mm] \bruch{\partial u hut}{\partial\xi} [/mm] = 0 mit [mm] û(\xi, \eta [/mm] )= [mm] u(x(\xi, \eta), y(\xi, \eta)).
[/mm]
(b) Geben sie die Lösung von (1) in allgemeiner Form an. |
Ok die (a) habe ich so weit kapiert
x= [mm] \bruch{3}{25}\xi [/mm] + [mm] \bruch{4}{25}\eta
[/mm]
und
y= [mm] \bruch{3}{25}\eta [/mm] - [mm] \bruch{4}{25}\xi
[/mm]
da kommt dann auch in der Musterlösung
[mm] \bruch{\partial u hut}{\partial\xi} [/mm] = [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} \* \bruch{\partial x}{\partial \xi} [/mm] + [mm] \bruch{\partial u}{\partial y} \* \bruch{\partial y}{\partial \xi} [/mm] = [mm] \bruch{1}{25}(3\bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] - [mm] 4\bruch{\partial u}{\partial y})= [/mm] 0
raus
aber dann in der (b) soll man nach [mm] \xi [/mm] integrieren und bekommt dann
û( [mm] \xi [/mm] , [mm] \eta) [/mm] = [mm] \Phi [/mm] ( [mm] \eta [/mm] )
und dann mit einsetzen
u(x,y) = [mm] û(\eta [/mm] (x,y)) = [mm] \Phi [/mm] (4x+3y)
Aber wie integriert man nach [mm] \xi [/mm] ?
Ich hätte spontan einfach
[mm] \integral \bruch{\partial u}{\partial x} \* \bruch{\partial x}{\partial \xi} [/mm] + [mm] \bruch{\partial u}{\partial y} \* \bruch{\partial y}{\partial \xi} [/mm] d [mm] \xi
[/mm]
gemacht bin mir dann aber nicht sicher ob ich dann [mm] \partial \xi [/mm] einfach kürzen kann. Danach weiss ich jetzt aber immer noch nicht wie ich auf [mm] \eta [/mm] komme.
Und noch eine Frage wie bekome ich das u hut (û) in ein [mm] \bruch{\partial û}{\partial}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Do 28.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Gleichung:
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> 3 [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)[/mm] - 4 [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)=0[/mm]
> in [mm]\IR^{2}.[/mm] (1)
>
> (a) Zeigen Sie, dass (1) mit Hilfe der folgenden
> Koordinatentransformation
>
>
> [mm]\xi[/mm] = 3x-4y, [mm]\eta[/mm] = 4x+3y
>
> in folgende PDGl in den neuen Koordinaten [mm](\xi, \eta)[/mm]
> umgewandelt werden kann:
>
> [mm]\bruch{\partial u hut}{\partial\xi}[/mm] = 0 mit [mm]û(\xi, \eta[/mm] )=
> [mm]u(x(\xi, \eta), y(\xi, \eta)).[/mm]
>
> (b) Geben sie die Lösung von (1) in allgemeiner Form an.
> Ok die (a) habe ich so weit kapiert
>
> x= [mm]\bruch{3}{25}\xi[/mm] + [mm]\bruch{4}{25}\eta[/mm]
>
> und
>
> y= [mm]\bruch{3}{25}\eta[/mm] - [mm]\bruch{4}{25}\xi[/mm]
>
> da kommt dann auch in der Musterlösung
>
> [mm]\bruch{\partial u hut}{\partial\xi}[/mm] = [mm]\bruch{\partial u}{\partial x} \* \bruch{\partial x}{\partial \xi}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial u}{\partial y} \* \bruch{\partial y}{\partial \xi}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{25}(3\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] -
> [mm]4\bruch{\partial u}{\partial y})=[/mm] 0
>
> raus
>
> aber dann in der (b) soll man nach [mm]\xi[/mm] integrieren und
> bekommt dann
>
> û( [mm]\xi[/mm] , [mm]\eta)[/mm] = [mm]\Phi[/mm] ( [mm]\eta[/mm] )
>
> und dann mit einsetzen
>
> u(x,y) = [mm]û(\eta[/mm] (x,y)) = [mm]\Phi[/mm] (4x+3y)
>
> Aber wie integriert man nach [mm]\xi[/mm] ?
Wir wissen: $ [mm] \bruch{\partial \hat{u}}{\partial \xi}=0 [/mm] $ .
Das bedeutet: die Funktion [mm] \hat{u} [/mm] hängt nicht von [mm] \xi [/mm] ab, sondern nur von [mm] \eta. [/mm] Damit ist [mm] \hat{u} [/mm] eine Funktion nur von einer Variablen, nämlich [mm] \eta. [/mm] Somit
[mm] \hat{u}(\xi,\eta)= \Phi(\eta)
[/mm]
>
> Ich hätte spontan einfach
>
> [mm]\integral \bruch{\partial u}{\partial x} \* \bruch{\partial x}{\partial \xi}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial u}{\partial y} \* \bruch{\partial y}{\partial \xi}[/mm]
> d [mm]\xi[/mm]
Das ist ja auch in Ordnung. Es ist (s.o.):
$ [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] * [mm] \bruch{\partial x}{\partial \xi} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] * [mm] \bruch{\partial y}{\partial \xi}=0 [/mm] $
Damit ist
[mm]\integral \bruch{\partial u}{\partial x} \* \bruch{\partial x}{\partial \xi}[/mm] + [mm]\bruch{\partial u}{\partial y} \* \bruch{\partial y}{\partial \xi}[/mm] d [mm]\xi[/mm]
nur von [mm] \eta [/mm] abhängig.
>
> gemacht bin mir dann aber nicht sicher ob ich dann [mm]\partial \xi[/mm]
> einfach kürzen kann. Danach weiss ich jetzt aber immer
> noch nicht wie ich auf [mm]\eta[/mm] komme.
>
> Und noch eine Frage wie bekome ich das u hut (û) in ein
> [mm]\bruch{\partial û}{\partial}[/mm]
Geh mal mit der Maus drüber:
[mm] \hat{u}
[/mm]
$ [mm] \bruch{\partial \hat{u}}{\partial \xi} [/mm] $
FRED
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