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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe ein paar kleine Fragen zu folgender Aufgabe:
Das sieht jetzt viel aus, ist aber eigentlicht recht einfach.
Hab nur ein paar kleine Ungereimtheiten, die ich klären möchte.
Aus einem bestehenden orthogonalen kartesischen Koordinatensystem soll durch gemeinsame Drehung der Koordinatenachsen ein neues Koordinatensystem entstehen. Die neuen Koordinatenachsen seien parallel zu den Vektoren u, v und w, wobei (ausgedrückt bzgl. des alten Koordinatensystems) folgende Angaben bekannt sind:
[mm] u^{T} [/mm] = [1, 2, 2] [mm] v^{T} [/mm] = [2, 1, v3]
a) Zu bestimmen sind die neuen Basisvektoren parallel zu u, v, w !
b) Welche Koordinaten haben die Punkte P(1, 1, 0) und Q(0, 0, 2) im
neuen Koordinatensystem ?
c) Wie lautet die Gleichung der Ebene z = 0 im neuen Koordinatensystem ?
d) Wie lautet die Gleichung der Geraden r = OQ + t*OP im neuen KS ?
Hier ist die Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man eine Basis für ein Koordinatensystem gefunden hat (Aufgabe a), steckt man diese Vektoren dann immer in eine neue Matrix? (hier in die Matrix A im Aufgabenteil b) Ist das eine Festlegung?
Zur Koordinatentrafo:
Kann ich mir das so erklären, dass A transponiert werden muss, weil so jede Koordinate jedes Basisvektors mit den einzelnen Koordinaten des abzubildenden Punktes verrechnet wird?
Wenn ich A nicht transponieren würde, dann würde man ja die x-Koordinaten der Basisvektoren mit allen Koordinaten des abzubildenden Punktes verrechnen. Das wäre ja nicht korrek, stimmts?
Bei der Teilaufgabe c verstehe ich nicht, was mit Ebene z=0 gemeint ist.
Auch in der Lösungsangabe wird auf einmal die Ebene durch einen Vektor x beschrieben. Wie ist das zu verstehen? Normalerweise gibt es doch bloß eine Parameter -und eine Koordinatendarstellung, oder sehe ich hier irgendwas falsch?
Bei Teilaufgabe d würde ich gern erfahren, was die 0en vor den Punkten in der Geradengleichung sind?
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Maiko!
Ich versuche dir mal ein wenig zu helfen.
> Ich habe ein paar kleine Fragen zu folgender Aufgabe:
> Das sieht jetzt viel aus, ist aber eigentlicht recht
> einfach.
> Hab nur ein paar kleine Ungereimtheiten, die ich klären
> möchte.
>
>
> Aus einem bestehenden orthogonalen kartesischen
> Koordinatensystem soll durch gemeinsame Drehung der
> Koordinatenachsen ein neues Koordinatensystem entstehen.
> Die neuen Koordinatenachsen seien parallel zu den Vektoren
> u, v und w, wobei (ausgedrückt bzgl. des alten
> Koordinatensystems) folgende Angaben bekannt sind:
>
> [mm]u^{T}[/mm] = [1, 2, 2] [mm]v^{T}[/mm] = [2, 1, v3]
>
> a) Zu bestimmen sind die neuen Basisvektoren parallel zu u,
> v, w !
> b) Welche Koordinaten haben die Punkte P(1, 1, 0) und Q(0,
> 0, 2) im
> neuen Koordinatensystem ?
> c) Wie lautet die Gleichung der Ebene z = 0 im neuen
> Koordinatensystem ?
> d) Wie lautet die Gleichung der Geraden r = OQ + t*OP im
> neuen KS ?
>
> Hier ist die Lösung:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wenn man eine Basis für ein Koordinatensystem gefunden hat
> (Aufgabe a), steckt man diese Vektoren dann immer in eine
> neue Matrix? (hier in die Matrix A im Aufgabenteil b) Ist
> das eine Festlegung?
Was heißt hier "Festlegung"? Es ist eben die einzige Möglichkeit, um durch eine einfache Matrizenmultiplikation die Koordinaten bezüglich des neuen Koordinatensystems zu berechnen. Ja, das wird immer so gemacht, wenn man -ausgehend von dem Standardkoordinatensystem- eine Koordinatentransformation durchführt.
> Zur Koordinatentrafo:
> Kann ich mir das so erklären, dass A transponiert werden
> muss, weil so jede Koordinate jedes Basisvektors mit den
> einzelnen Koordinaten des abzubildenden Punktes verrechnet
> wird?
> Wenn ich A nicht transponieren würde, dann würde man ja
> die x-Koordinaten der Basisvektoren mit allen Koordinaten
> des abzubildenden Punktes verrechnen. Das wäre ja nicht
> korrek, stimmts?
Das habe ich nicht wirklich verstanden. Ich erkläre es mal anders. Es sei $A$ die Matrix, in deren Spalten die Koordinaten der neuen Basis stehen. $A$ sei bereits normiert, und die neue Basis sei durch eine Drehung aus der Standardbasis hervorgegangen. In diesem Fall ist $A$ orthogonal (die Spalten bilden ein ON-System), und es gilt: [mm] $A^{-1}=A^T$. [/mm] Dann kann man allgemein zeigen, dass für einen Koordinatornvektor bezüglich neuer und alter Basis Folgendes gilt:
[mm] $x_{alt}=A \cdot x_{neu}$.
[/mm]
D.h. wir können durch Multiplikation mit $A$ die Koordinaten bezüglich der alten Basis aus den Koordinaten bezüglich der neuen Basis berechnen.
Aber eigentlich wollen wir ja das Umgekehrte!! D.h. eigentlich wollen wir berechnen:
[mm] $x_{neu} [/mm] = [mm] A^{-1} \cdot x_{alt}$.
[/mm]
Iihhh ![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]") , eine Inverse!!! 
Aber wir haben Glück, denn $A$ ist orthogonal, d.h. wir können, anstatt $A$ zu invertieren, $A$ einfach transponieren, und das schafft notfalls auch ein dressierter Rauhaardackel.
Also, wir können wie folgt aus den Koordinaten bezüglich der alten Basis die Koordinaten bezüglich der neuen Basis berechnen:
[mm] $x_{neu} [/mm] = [mm] A^T \cdot x_{alt}$.
[/mm]
Toll!!
Also: Einfach die neue Basis in die Spalten von $A$ schreiben, $A$ transponieren und dann mit dieser Transponierten multiplizieren. Aber Vorsicht!!!! Das mit dem Transponieren geht nur, wenn das neue Koordinatensystem durch eine Drehung aus dem Standardkoordinatensystem hervorgeht, sprich, wenn $A$ orthogonal gewählt werden kann.
> Bei der Teilaufgabe c verstehe ich nicht, was mit Ebene z=0
> gemeint ist.
Hier ist gemeint (ich schreibe alles als Zeilenvektoren):
[mm] $\{(x,y,z) \in \IR^3\, : \, 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z = 0\}$.
[/mm]
> Auch in der Lösungsangabe wird auf einmal die Ebene durch
> einen Vektor x beschrieben. Wie ist das zu verstehen?
Hier ist gemeint:
[mm] $\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3\, : \, (x_1,x_2,x_3) = \lambda \cdot (1,0,0) + \mu \cdot (0,1,0)\}$.
[/mm]
> Normalerweise gibt es doch bloß eine Parameter -und eine
> Koordinatendarstellung, oder sehe ich hier irgendwas
> falsch?
Erkennst du die beiden Darstellungen jetzt wieder?
> Bei Teilaufgabe d würde ich gern erfahren, was die 0en vor
> den Punkten in der Geradengleichung sind?
[mm] $\vec{OP}$ [/mm] ist der Ortsvektor zu dem Punkt $P$, also der Vektor, der beim Ursprung (Origio) beginnt und im Punkt $P$ endet.
Konnte ich dir etwas helfen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Danke für deine schnelle Antwort Stefan.
Aufgabe a, b und d sind klar.
Zu Aufgabe b möchte ich dir aber nochmal meine Sicht der Dinge erklären und dich bitten, zu antworten, was du davon hälst.
Ich denke, eine logische Begründung dafür, die Matrix zu transponieren ist folgende:
Bei der Multiplikation von Matrizen rechnet man ja immer folgender Maßen:
a11 * b11 + a12*b21 + a13*b31 + ....
Am Beispiel unserer Aufgabe:
Wenn man jetzt die Basisvektoren des Koordinatensystems in der Matrix transponiert, liegen sie so
x1 y1 z1 x4
x2 y2 z2 * y4
x3 y3 z3 z4
also muss man hier rechnen:
x1*x4 + y1*y4 + z1*z4
x2*x4 + y2*y4 + z2*z4
x3*x4 + y3*y4 + z3*z4
So verrechnet man ja jeweils x-,y- und z-Koordinaten.
Wenn man die Matrix nicht transponieren würde, würde das so aussehen:
x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 * y4
z1 z2 z3 z4
Man würde also die x-Koordinaten der Basisvektoren mit den x-,y-,z-Koordinaten des abzubildenden Punktes verrechnen, was ja Blödsinn ist, stimmts?
zu Aufgabe c)
z=0 -> 0x+0y+z=0
Das ist jetzt klar. Normalerweise könnte ich ja jetzt sagen:
[mm] x^T=(0,0,1)
[/mm]
Jetzt könnte ich wie bei Aufgabe b rechnen und würde eine Ebene in Koordinatenform rausbekommen à la lösung=(x,y,z).
Das funktioniert ja glaub ich nur, weil 0x+0y+z gleich Null ist.
Ich würde aber gern vestehen, warum [mm] x^T=(0,0,1) [/mm] umgewandelt werden kann in [mm] x^T=(\lambda 1,\lambda [/mm] 2,0)
Welche Umformung fand hier statt? Sorry, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Di 26.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Könnte sich jmd. vielleicht noch einmal mit der Thematik befassen?
Stefan meldet sich leider nicht mehr, obwohl ich nicht denke, dass diese Thematik sonderlich schwer ist.
Ich bräuchte aber wirklich Antworten auf meine Fragen.
Vielleicht kann sich ja jmd. nochmal die Zeit nehmen?
Ich wäre sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 26.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Maiko!
> Danke für deine schnelle Antwort Stefan.
> Aufgabe a, b und d sind klar.
>
> Zu Aufgabe b möchte ich dir aber nochmal meine Sicht der
> Dinge erklären und dich bitten, zu antworten, was du davon
> hälst.
>
> Ich denke, eine logische Begründung dafür, die Matrix zu
> transponieren ist folgende:
>
> Bei der Multiplikation von Matrizen rechnet man ja immer
> folgender Maßen:
> a11 * b11 + a12*b21 + a13*b31 + ....
>
> Am Beispiel unserer Aufgabe:
> Wenn man jetzt die Basisvektoren des Koordinatensystems in
> der Matrix transponiert, liegen sie so
>
> x1 y1 z1 x4
> x2 y2 z2 * y4
> x3 y3 z3 z4
>
> also muss man hier rechnen:
> x1*x4 + y1*y4 + z1*z4
> x2*x4 + y2*y4 + z2*z4
> x3*x4 + y3*y4 + z3*z4
>
> So verrechnet man ja jeweils x-,y- und z-Koordinaten.
> Wenn man die Matrix nicht transponieren würde, würde das
> so aussehen:
>
> x1 x2 x3 x4
> y1 y2 y3 * y4
> z1 z2 z3 z4
>
> Man würde also die x-Koordinaten der Basisvektoren mit den
> x-,y-,z-Koordinaten des abzubildenden Punktes verrechnen,
> was ja Blödsinn ist, stimmts?
Nein, ehrlich gesagt hat deine Begründung nichts mit dem Sachverhalt zu tun, auch wenn sie dir plausibel erscheinen mag. Wie gesagt: Normalerweise nimmt man ja die Inverse (die halt bei orthogonalen Abbildungen gleich der Transponierten ist), und dann würde deine Begründung auch nicht mehr stimmen. Die Begründung ist also so nicht richtig. Eine mathematische Begründung habe ich ja geliefert.
> zu Aufgabe c)
> z=0 -> 0x+0y+z=0
>
> Das ist jetzt klar. Normalerweise könnte ich ja jetzt
> sagen:
>
> [mm]x^T=(0,0,1)[/mm]
Das verstehe ich nicht. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wie kommst du denn daraus? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Das, was du angegeben hast, ist der Normalenvektor der Ebene.
Also: Nein, im Gegenteil!!! Es bedeutet, dass die ersten beiden Komponenten beliebig gewählt werden können und die dritte Komponente gleich $0$ sein muss, damit die Gleichung lösbar ist. Und so kommt man dann auch auf die gewünscht Darstellung.
Die Tatsache, dass ich mich nicht gemeldet habe, hängt primär damit zusammen, dass ich hier leider deine Gedanken und Probleme nicht gut (bis überhaupt nicht) nachvollziehen kann. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ich war davon ausgegangen es verständlich erklärt zu haben, aber anscheinend habe ich mich da geirrt. Wenn es nach wie vor unklar ist, solltest du noch einmal präzise nachfragen (und vielleicht antwortet dann ja jemand anderes).
Viele Grüße
Stefan
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