Koordinatengleichung umformen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 22.05.2006 | | Autor: | philk |
| Aufgabe 1 | | [mm] E_{1}:2 x_{1}-x_{2}- x_{3}=1 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] E_{2}:5 x_{1}+2 x_{2}+ x_{3}=-6 [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] E_{3}:4 x_{2}+5 x_{3}=20 [/mm] |
| Aufgabe 4 | | [mm] E_{4}:\vec{x}=\pmat{ 3 \\ 1 \\ 5 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 } [/mm] + s [mm] \pmat{ -1 \\ 0 \\ 3 } [/mm] |
Ich muss morgen ein Referat über die Berechnung der Schnittgerade zweier Ebenen halten, wobei die eine Ebene als Koordinatengleichung vorliegt und die andere als Parameterdarstellung. Das Prinzip habe ich auch verstanden jetzt wollte ich aber neben der einen Beispielaufgabe aus dem Buch (LS - Analytische Geometrie - Grundkurs / Seite 64 Beispiel 5) auch noch zwei weitere Aufgaben für die Klasse rechnen. Es gibt aber nur noch eine Aufgabe, wo dieser Weg verlangt wird (Seite 65, Aufgabe 10). Bei den dort gegeben Ebenen (siehe oben) muss man allerdings erst überprüfen, ob diese Parallel zu der Ebene [mm] E_{4} [/mm] sind. Ich komme zu dem Ergebnis, dass alle drei Ebenen zu der Ebene [mm] E_{4} [/mm] nicht parallel sind. Das wäre ja komisch, denn wenn dem so wäre könnte man die Überprüfung auf Parallelität ja auch weglassen.
Ich bin so vorgegangen, dass ich [mm] E_{1}, E_{2} [/mm] und [mm] E_{3} [/mm] in Parameterdarstellung umgeformt habe und dann eine Linearkombination für die Ortsvektoren r und s mit den Ortsvektoren aus [mm] E_{4} [/mm] gemacht habe. Wie erwähnt kam bei allen heraus, dass sie nicht parallel sind.
Ich wollte jetzt wissen, ob ich die Koordinatengleichung richtig umgeformt habe. Das wäre der einzige Punkt wo ich meiner Meinung nach einen Fehler haben könnte.
Meine Lösung:
[mm] E_{1}:\vec{x}=\pmat{ 0 \\ -1 \\ 0 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 0 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] E_{2}:\vec{x}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ -6 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -5 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }
[/mm]
[mm] E_{3}:\vec{x}=\pmat{ 0 \\ 5 \\ 0 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 0 \\ -\bruch{5}{4} \\ 1 } [/mm]
Ist das richtig? Und wenn jemand Lust und Zeit hat, sind die Ebenen Parallel zu E4?
Vielen Dank
philk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Philk,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]E_{1}:2 x_{1}-x_{2}- x_{3}=1[/mm]
> [mm]E_{2}:5 x_{1}+2 x_{2}+ x_{3}=-6[/mm]
>
> [mm]E_{3}:4 x_{2}+5 x_{3}=20[/mm]
> [mm]E_{4}:\vec{x}=\pmat{ 3 \\ 1 \\ 5 }[/mm] + r [mm]\pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 }[/mm] + s [mm]\pmat{ -1 \\ 0 \\ 3 }[/mm]
> Ich
> muss morgen ein Referat über die Berechnung der
> Schnittgerade zweier Ebenen halten, wobei die eine Ebene
> als Koordinatengleichung vorliegt und die andere als
> Parameterdarstellung. Das Prinzip habe ich auch verstanden
> jetzt wollte ich aber neben der einen Beispielaufgabe aus
> dem Buch (LS - Analytische Geometrie - Grundkurs / Seite 64
> Beispiel 5) auch noch zwei weitere Aufgaben für die Klasse
> rechnen. Es gibt aber nur noch eine Aufgabe, wo dieser Weg
> verlangt wird (Seite 65, Aufgabe 10). Bei den dort gegeben
> Ebenen (siehe oben) muss man allerdings erst überprüfen, ob
> diese Parallel zu der Ebene [mm]E_{4}[/mm] sind. Ich komme zu dem
> Ergebnis, dass alle drei Ebenen zu der Ebene [mm]E_{4}[/mm] nicht
> parallel sind. Das wäre ja komisch, denn wenn dem so wäre
> könnte man die Überprüfung auf Parallelität ja auch
> weglassen.
Wieso meinst du, dass du sie weglassen kannst? Du weißt doch nicht im Voraus, dass keine Parallelität gegeben ist. Allerdings kannst du auch bei der Schnittgeradenbestimmung feststellen, ob die Ebenen parallel sind oder nicht. Erhälst du nämlich bei der Schnittgeradenbestimmung keine Lösung, so müssen die Ebenen parallel sein.
> Ich bin so vorgegangen, dass ich [mm]E_{1}, E_{2}[/mm] und [mm]E_{3}[/mm] in
> Parameterdarstellung umgeformt habe und dann eine
> Linearkombination für die Ortsvektoren r und s mit den
> Ortsvektoren aus [mm]E_{4}[/mm] gemacht habe. Wie erwähnt kam bei
> allen heraus, dass sie nicht parallel sind.
> Ich wollte jetzt wissen, ob ich die Koordinatengleichung
> richtig umgeformt habe. Das wäre der einzige Punkt wo ich
> meiner Meinung nach einen Fehler haben könnte.
> Meine Lösung:
>
> [mm]E_{1}:\vec{x}=\pmat{ 0 \\ -1 \\ 0 }[/mm] + r [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 0 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]E_{2}:\vec{x}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ -6 }[/mm] + r [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ -5 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }[/mm]
>
> [mm]E_{3}:\vec{x}=\pmat{ 0 \\ 5 \\ 0 }[/mm] + r [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 0 \\ -\bruch{5}{4} \\ 1 }[/mm]
>
> Ist das richtig?
alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wenn jemand Lust und Zeit hat, sind
> die Ebenen Parallel zu E4?
Auch hier hast du recht. Keine Ebene ist parallel zu [mm] E_4.
[/mm]
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 22.05.2006 | | Autor: | philk |
Vielen Dank Sigrid!
Wenn das hier so flott und gut klappt, dann kann ich ja auch noch ne Frage stellen.
Ist die Schnittgerade der Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{4} [/mm] richtig berechnet?
[mm] g:\vec{x}= \pmat{ 2 \\ 1 \\ 8 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 5 \\ -1 \\ -9}
[/mm]
Und die der Ebenen [mm] E_{3} [/mm] und [mm] E_{4}?
[/mm]
[mm] g:\vec{x}= \pmat{ 7,5 \\ -1,25 \\ 5 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 6,5 \\ -3,75 \\ 3 }
[/mm]
Wenn dem so ist, wäre mein Tag gerettet :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Philk,
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> Wenn das hier so flott und gut klappt, dann kann ich ja
> auch noch ne Frage stellen.
>
> Ist die Schnittgerade der Ebenen [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{4}[/mm] richtig
> berechnet?
>
> [mm]g:\vec{x}= \pmat{ 2 \\ 1 \\ 8 }[/mm] + r [mm]\pmat{ 5 \\ -1 \\ -9}[/mm]
Hier habe ich was anderes raus.
>
> Und die der Ebenen [mm]E_{3}[/mm] und [mm]E_{4}?[/mm]
>
> [mm]g:\vec{x}= \pmat{ 7,5 \\ -1,25 \\ 5 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 6,5 \\ -3,75 \\ 3 }[/mm]
Gruß
Sigrid
>
> Wenn dem so ist, wäre mein Tag gerettet :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Mo 22.05.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Hallo Philk,
du kannst es dir auch einfacher machen: form doch die vierte Gleichung in Koordinatenform um. Dann kannst du auf einen Blick sehen, ob die vierte Ebene parallel zu einer der anderen ist. Du musst dann lediglich die Koeffizienten der Ebenenleichungen miteinander vergleichen. Stimmen sie ueberein, oder kann man die Ebenengleichungen so erweitern, dass die Koeffizienten uebereinstimmen, dann sind die Ebenen parallel (oder sogar identisch - wenn sie auch im "freien" Koeffizienten uebereinstimmen).
Viele Gruesse,
zerbinetta
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