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| Aufgabe | Ein eindimensionaler Raum wird dur h eine Koordinate [mm] y\in ]0,\infty[ [/mm] parametisiert. Es liegen Messgeräte an Abständen [mm] \Delta [/mm] y=10 voneinander, das erste bei y=1 mit angemessenen dimensionslosen Einheiten.
(i) Es wird eine neue Koordinate eingeführt [mm] x=\frac{1}{1+y}. [/mm] In welchem Intervall soll sie definiert werden, um den ganzen Raum zu beschreiben?
(ii) Messungen hatten einen Kometen entdeckt, der den Messgeräten bei konstanten Zeitintervallen [mm] \Delta [/mm] t in positive y Rtg. vorbeigeflogen war: [mm] v=\frac{\Delta y}{\Delta t}=konst.
[/mm]
Wie verhält sich die Geschwindigkeit bzgl. der neuen x-Koordinate [mm] \Delta x/\Delta [/mm] t als Funktion der Zeit? Skizziere [mm] \Delta x/\Delta [/mm] t als Funktion von x.
(iii) Eine weiter Koordinatentransformation wäre [mm] z=y^a [/mm] mit a>0. Für welche a wird die Bewegung des Kometen anscheinend ständig beschleunigt? |
Hallo,
gleich zur Aufgabe:
zu (i):
Wenn [mm] y\in]0,\infty[ [/mm] liegt, so müsste [mm] x\in [/mm] ]0,1[ liegen, da dies die entsprechenden Grenzwerte sind, wenn man y gegen 0 bzw gegen [mm] \infty [/mm] laufen lässt. Richtig?
zu (ii):
Dass [mm] \Delta y/\Delta [/mm] t=v konstant ist, ist klar, da die Messgeräte konstanten Abstand haben.
Betrachte ich [mm] \Delta x/\Delta [/mm] t, dann kann ich damit nichts anfangen. Wie soll ich das machen?
Und wie soll ich dann [mm] \Delta x/\Delta [/mm] t als Fkt. von x zeichnen. [mm] \Delta [/mm] x kann ich berechnen, da [mm] \Delta [/mm] y=10. Wirkt alles noch etwas fremd auf mich.
zu (iii):
Hier weiß ichs auch nicht so recht. Spontan sage ich einfach mal a>1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Sa 24.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Idee: sie dir nich [mm] \delta y/\Delta [/mm] t an, sondern dy/dt und daraus dx/dt.
gruss leduart
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> Hallo
> Idee: sie dir nich [mm]\delta y/\Delta[/mm] t an, sondern dy/dt und
> daraus dx/dt.
> gruss leduart
Hallo,
erstmal noch zu (i). Stimmt mein Intervall da?
Ich werd allerdings nicht so recht schlau daraus, was du mir sagen willst.
Soll ich aus x=1/(1+y) folgern [mm] y=\frac{1}{x}-1 [/mm] und das eingesetzt in
[mm] \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{x}-1). [/mm] Aber ich kann da ja nichts groß zeitlich differenzieren.
Und wo ist der Unterschied von [mm] \Delta x/\Delta [/mm] t als einerseits Funktion von x und andererseits als Funktion von t?
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Gut, da keiner antwortet werfe ich einfach noch ein paar neue Lösungsideen hinein.
Es gilt: [mm] v=\frac{\Delta y}{\Delta t}
[/mm]
Demnach [mm] \Delta y=v\cdot \Delta [/mm] t, oder wenn man es als Funktion der Zeit schreiben würde y(t)=vt.
Wenn ich das gleiche mit x mache, also [mm] v=\frac{\Delta x}{\Delta t} [/mm] und dann [mm] \Delta [/mm] x=v [mm] \Delta [/mm] t ist das das Gleiche wie:
[mm] \Delta (\frac{1}{1+y})=v \Delta [/mm] t.
Dann ist [mm] v=\frac{1}{t(1+y)}, [/mm] d.h. v nimmt mit wachsender Zeit ab, ist nicht mehr konstant.
Das ist das einzige was mir dazu einfällt.
Wie kann man das aber als Funktion von x Skizzieren bzw. aufschreiben?
Und was mache ich mit der Transformation [mm] z=y^a?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denk, du hast das ganze nicht richtig verstanden.
Deshalb ein Bild.
[Dateianhang nicht öffentlich]
zuerst ist die x-achse nach oben, y nach rechts.
Um abzulesen, welcher weg in x zurueckgelegt wird, wenn in y der Weg 0.26 ist, gehe ich ueber dden Graphen von x=1/(1+y)
und sehe, es ist x=0.8 entsprechend mit anderen Punkten.
Damit das 1d klarer wird hab ich danach die x-Achse parallel zur y achse gelegt. jetzt kannst du dir direkt etwas an der x und gleichzeitig an der y Achse vorbeifliegend vorstellen.
fangen wir bei y=0 an Zeit bis y=0.2 sei 1s
also [mm] v_y=0.2 [/mm] LE/s in x ist das Ding von 1 bis ca 0.83 gekommen, also [mm] v_x=-0.17LE/s
[/mm]
naechst s in y von 0.2 bis 0.4 [mm] v_y=0.2LE/s [/mm] in x von 0.83 bis0.71 also [mm] v_x=-0.12LE/s
[/mm]
Jetzt will man natuerlich nicht immer an der Graphik ablesen.
also sucht man ne allgemeine Umrechnung.
sichr kannst du das bei linearen Umrechnungen und hast schon mal Miles/h in km/h umgerechnet oder umgekehrt.
seien die amis die x Leute, messen in Miles, wir, die y Leute in km
es gilt x=1,6*y
vx=1.6*v"y
Wenn die Amis jetzt noch ihren anfangspunkt der Messung 123 km vor uns legen, und da bei 0 anfangen und lins als positv bezeichnen, dann ist x=123-1.6y
[mm] v_x=-1.6*v_y
[/mm]
uebertragen auf nicht lineare Zusammenhaenge der Laengenmessung: ersetz die funktion x=f(y) durch [mm] x=f(y_0)+
[/mm]
[mm] df/dy*(x-x_0)
[/mm]
dann kannst du fuer kleine x Intervalle wieder mit den linearen funktionen rechnen.
So, mach dir das mal langsam klar. dann verstehst du, was ich mit den Ableitungen meinte.
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ja das ist aller richtig.
Nun haben wir doch aber [mm] v=\frac{\Delta y}{\Delta t}.
[/mm]
Ersetzt man nun das [mm] \Delta [/mm] y durch [mm] \frac{1}{1+\Delta y}, [/mm] so erhält man doch jeweils genau die Werte für die Geschwindigkeit, die deine Grafik liefert.
Ich weiß also einfach nicht, wie ich [mm] \Delta x/\Delta [/mm] t als Funktion der Zeit ausdrücke und etwas über die Geschwindigkeit aussage, genauso eben als Skizze als Funktion von x.
Das mag dir trivial erscheinen, ist es aber für mich nicht.
Das gleiche Spiel bei [mm] z=y^a.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beispiel meine Zeichnung: wenn [mm] \Delta [/mm] y immer gleich ist, ist [mm] \Delta [/mm] x immer verschieden.
was soll es also heissen
"Ersetzt man nun das $ [mm] \Delta [/mm] $ y durch $ [mm] \frac{1}{1+\Delta y}, [/mm] $ so erhält man doch jeweils genau die Werte für die Geschwindigkeit, die deine Grafik liefert."
versteh ich nicht.
Ich hab fuer x zwar nur Durchschnittsgeschw. ausgerechnet, also mit der Steigung der Sehne gerechnet, aber sicher nicht wie du
[mm] \Delta [/mm] x =x2-x1=frac{1}{1+y(x1)}-frac{1}{1+y(x2)} [mm] \ne \frac{1}{1+\Delta y}
[/mm]
[mm] y(x2)-y(x1)=\Delta [/mm] y
Sehr lange kannst du da nicht ueberlegt haben.
hast du das mit der linearen Umrechng noch verstanden?
Die fkt kannst du doch erstmal durch eine Stueckweise lineare (die Sehnen) ersetzen.
Gruss leduart
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> Hallo
> Beispiel meine Zeichnung: wenn [mm]\Delta[/mm] y immer gleich ist,
> ist [mm]\Delta[/mm] x immer verschieden.
> was soll es also heissen
> "Ersetzt man nun das [mm]\Delta[/mm] y durch [mm]\frac{1}{1+\Delta y},[/mm]
> so erhält man doch jeweils genau die Werte für die
> Geschwindigkeit, die deine Grafik liefert."
> versteh ich nicht.
> Ich hab fuer x zwar nur Durchschnittsgeschw. ausgerechnet,
> also mit der Steigung der Sehne gerechnet, aber sicher
> nicht wie du
> [mm]\Delta[/mm] x =x2-x1=frac{1}{1+y(x1)}-frac{1}{1+y(x2)} [mm]\ne \frac{1}{1+\Delta y}[/mm]
>
> [mm]y(x2)-y(x1)=\Delta[/mm] y
> Sehr lange kannst du da nicht ueberlegt haben.
> hast du das mit der linearen Umrechng noch verstanden?
> Die fkt kannst du doch erstmal durch eine Stueckweise
> lineare (die Sehnen) ersetzen.
> Gruss leduart
>
>
Was du also möchtest, ist, dass ich setze [mm] x=f(y)=\frac{1}{1+y}. [/mm] Und jetzt möchte ich das ja einerseits als Funktion von t andererseits als Funktion von x haben.
Dann kann ich doch aber mit [mm] x=f(y_0)+\frac{df}{dy} (x-x_0) [/mm] nicht arbeiten, weil ich den letzten Teil, die Ableitung, doch nicht ausrechnen kann und dann vor allem nichts zeitliches habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deshalb hatte ich dir doch den linearen Zusammenhang mit Meilen und km erklaert.
df/dy an der Stelle [mm] y_0 [/mm] kennst du doch, oder kannst du nicht differenzieren? dann ist das ne Zahl
du hast also [mm] x=a+b(x-x_0)=a+c*x [/mm] dastehen fuer x nicht zu verschieden von [mm] x_0. [/mm] und das ist dasselbe wie mit meiner Umrechng von Geschw. in meilen, auf die in km.
Nur das hier gilt nicht fuer alle x und y, sondern nur bei [mm] y_0
[/mm]
wenn dus immer noch nicht siehst rechne eben [mm] \Delta [/mm] x=x2-x1 aus (beide nahe an [mm] x_0 [/mm] so das die Formel gilt. dann nimm ein andere [mm] x_0 [/mm] bzw [mm] y_0 [/mm] und schliesslich nennst du das dann einfach wieder y.
d,h. man hat eine Umrechnung, die vonm Ort abhaengt.
das sieht man doch auch schoen an meinem Bild. da wird der Betrag der Geschw. mit steigendem x immer kleiner, wenn sie bei y konstant ist.
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Ok ich will dich nicht verärgern oder so, aber ich folge deiner notation und argumentation nur sehr wenig.
Wahrscheinlich ist die Aufgabe sowieso viel leichter als mein Gedankengang.
Es ist doch allgemein erstmal [mm] \Delta y=y_2-y_1 [/mm] und [mm] \Delta t=t_2-t_1.
[/mm]
Nun habe ich [mm] x=\frac{1}{1+y}.
[/mm]
Das bedeutet [mm] \Delta x=x_2-x_1=\frac{1}{1+y_2}-\frac{1}{1+y_1}.
[/mm]
Soweit sind wir uns einig oder?
Jetzt beantworte ich den Teil:
Wie benimmt sich die Geschwindigkeit bzgl. der neuen x-Koordinate als Funktion der Zeit?
Da muss ich doch nur sagen, was mit dem [mm] \Delta [/mm] x los ist.
Während [mm] \Delta [/mm] y immer gleich 10 ist, ist [mm] \Delta [/mm] x veränderlich, beispiel:
[mm] y_2=11, y_1=1, [/mm] dann [mm] \Delta [/mm] x=-0,42 und andererseits
[mm] y_2=21, y_1=11, [/mm] dann [mm] \Delta [/mm] x=-0,04.
Damit weiß ich doch bereits, dass unter der neuen x-Koordinate die Geschwindigkeit im Betrag kontinuierlich kleiner wird. Nach meiner Auffassung habe ich damit den Aufgabenteil vollständig beantwortet.
Fehlt nur noch das Skizzieren, wobei ich da eigentlich die Skizze liefern würde, die du hier bereits reingestellt hast.
Und der Teil mit [mm] z=y^a [/mm] fehlt noch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 26.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
meine Skizze zeigt nirgenda [mm] \Delta [/mm] x/Delta t!
ich hab dazu nur 3 -ungenaue- Werte aus der Zeichnung entnommen. Du studierst doch Mathe, da kann man nicht aus 3 Werten auf was schliessen.
Warum ist das mit der Ableitung so schwer, die gibt doch an, wiestark sich x aendert , wenn sich y aendert. y Aenderung= [mm] \Delta [/mm] y x Aenderung [mm] =\Delta [/mm] x
[mm] \Delta x/\Delta y\approx [/mm] dx/dy=x' also [mm] \Delta [/mm] x [mm] \approx \Delta [/mm] y* dy/dx
und das jetzt durch [mm] \Delta [/mm] t auf beiden Seiten teilen.
Wie du argumentierst, also mit 2 intervallen, das beweist doch nichts, wie zeigst du etwa dass das immer so weiter geht, und nicht mal umdreht?
(Ich hab gestern 10 posts geschrieben, heut 7. Folge (nach dir) es ist gezeigt, dass meine posts mit wachsender Zeit abnehmen.)
Gruss leduart
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Ok ich glaube mitlerweile hab sogar ich deinen ansatz geschnallt.
[mm] \Delta x=\Delta y\cdot [/mm] dx/dy führt zu [mm] \Delta x/\Delta t=v\cdot (-\frac{1}{(1+y)^2}. [/mm] Wenn ich das nach v auflöse, kann ich etwas über meine Geschwindigkeit aussagen.
Also [mm] v=\Delta x/\Delta [/mm] t [mm] \cdot (-(1+y)^2).
[/mm]
Die Geschwindigkeit verringert sich also um den Faktor [mm] (-(1+y)^2).
[/mm]
Ich hoffe, dass war das was du meinst.
Heute bzw. gestern war so garnicht mein tag.
Wenn ich es nun als Funktion von x skizzieren will, müsste ich doch das [mm] (-(1/(1+y)^2) [/mm] nur wieder umschreiben, sodass ich anstatt des y ein x im Term habe oder?
Mit [mm] y=\frac{1}{x}-1 [/mm] würde dann folgen.
[mm] \frac{\Delta x}{\Delta t}=v\cdot -\frac{1}{(1+\frac{1}{x}-1)^2}
[/mm]
Ich kanns doch nun aber nicht skizzieren, weil ich nicht weiß, was v ist, oder macht man dann ne skizze ohne zahlenwerte?
Und zur anderen Koordinatentransformation:
Gilt [mm] z=y^a [/mm] mit a>0. Für welche a wird die Bewegung des Kometen anscheinend ständig beschleunigt.
Für a=1 habe ich gar keine Transformation vorliegen, sondern nur eine Änderung der Variabeln.
Also muss ja a>1 sein. Kann/muss man es noch anders begründen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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