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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 05.01.2013 | | Autor: | wesc |
| Aufgabe | Gegeben ist der Vektorraum der reellen 2x2-Diagonalmatrizen
[mm] V:=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }∣ [/mm] mit a und b Element R
eine lineare Abbildung L:V→V und
die darstellende Matrix Lℬ bezüglich einer Basis ℬ={B1,...,Bn}.
L und Lℬ:
L:= [mm] V\to [/mm] V
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \to \pmat{ a+5b & 0 \\ 0 & 6b }
[/mm]
Lℬ= [mm] \pmat{ 6 & 5 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und bestimmen Sie anschließend
Kℬ(Bi), Lℬ(Kℬ(Bi)) sowie K−1ℬ(Lℬ(Kℬ(Bi))) als Linearkombination der
Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .
Bestimmen Sie eine Basis ℬ, sodass Lℬ die darstellende Matrix von L bzgl. ℬ ist.
(Hinweis: ℬ ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.) |
Mir ist unklar, wie ich, ohne eine gegebene Basis, Kℬ(Bi), Lℬ(Kℬ(Bi)) oder K−1ℬ(Lℬ(Kℬ(Bi))) bestimmen soll.
Da die Abbildung L vom R 2x2 in den R 2x2 läuft, hat die Basis doch 2 Elemente, also n=2?
Aber eben diese Elemente brauche ich doch um davon die Koordinatenabbildung bestimmen zu können?
Ich weiss gerade wirklich nicht mehr weiter..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist der Vektorraum der reellen
> 2x2-Diagonalmatrizen
> [mm]V:=\pmat{ a & 0 \\
0 & b }∣[/mm] mit a und b Element R
> eine lineare Abbildung L:V→V und
> die darstellende Matrix Lℬ bezüglich einer Basis
> ℬ={B1,...,Bn}.
>
> L und Lℬ:
>
> L:= [mm]V\to[/mm] V
>
> [mm]\pmat{ a & 0 \\
0 & b } \to \pmat{ a+5b & 0 \\
0 & 6b }[/mm]
>
> Lℬ= [mm]\pmat{ 6 & 5 \\
0 & 1 }[/mm]
>
>
> Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und
> bestimmen Sie anschließend
> Kℬ(Bi), Lℬ(Kℬ(Bi)) sowie K−1ℬ(Lℬ(Kℬ(Bi)))
> als Linearkombination der
> Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .
>
> Bestimmen Sie eine Basis ℬ, sodass Lℬ die darstellende
> Matrix von L bzgl. ℬ ist.
>
> (Hinweis: ℬ ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt
> unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.)
> Mir ist unklar, wie ich, ohne eine gegebene Basis,
> Kℬ(Bi), Lℬ(Kℬ(Bi)) oder K−1ℬ(Lℬ(Kℬ(Bi)))
> bestimmen soll.
>
> Da die Abbildung L vom R 2x2 in den R 2x2 läuft, hat die
> Basis doch 2 Elemente, also n=2?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es stimmt, daß V die Dimension 2 hat, aber Deine Begründung dafür stimmt nicht.
Der VR der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] hat nämlich die Dimension 4.
Würden wir aus diesem Raum in diesen Raum abbilden, so wäre die Darstellungsmatrix eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix.
V ist aber nur ein Teilraum dieses Raumes, nämlich der, der die Diagonalmatrizen enthält. Seine Dimension ist in der Tat =2.
Eine Basis von V wäre [mm] C:=(C_1, C_2) [/mm] mit [mm] C_1:=\pmat{1&0\\0&0}, C_2:=\{0&1\\0&0}.
[/mm]
Die Darstellungsmatrix von L bzgl dieser Basis wäre [mm] L_C=\pmat{1&5\\0&6} [/mm] - leider nicht ganz das Gewünschte.
Wir suchen jetzt eine Basis [mm] B:=(B_1, B_2), [/mm] welche folgendes tut:
[mm] L(B_1)=6B_1
[/mm]
[mm] L(B_2)=5B_1+6B_2.
[/mm]
(Dies habe ich der vorgegebenen Darstellungsmatrix entnommen.)
Wenn Du jetzt nicht gleich die Lösung oder einen Teil der Lösung siehst, kannst Du so vorgehen:
es sei
[mm] B_1:=$\pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] $,
[mm] B_2:=$\pmat{ c & 0 \\ 0 & d } [/mm] $.
Es soll sein
[mm] \red{\pmat{a+5b&0\\0&6b}}=L(B_1)=6B_1=\red{\pmat{ 6a & 0 \\ 0 & 6b }}
[/mm]
und
[mm] \red{\pmat{c+5d&0\\0&6d}}=L(B_1)=5B_1+B_2= [/mm] ...
Daraus bekommst Du ein LGS, welches Du sicher lösen kannst.
LG Angela
> Aber eben diese Elemente brauche ich doch um davon die
> Koordinatenabbildung bestimmen zu können?
>
> Ich weiss gerade wirklich nicht mehr weiter..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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