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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 So 07.06.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | | [mm] x_{m}:=(\alpha_{m}^1,\alpha_{m}^2, [/mm] ... , [mm] \alpha_{m}^n), x_{m} \in \IC^n, \IR^n. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] (x_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge ist [mm] \gdw \alpha_{n}^j [/mm] eine Cauchy-Folge [mm] \forall [/mm] j:={1,2,...n}. |
Hi!
Vielleicht könnte mir hier jemand weiterhelfen.
Cauchy-Folge ist ja folgendermaßen definiert: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists n_{0}=n_{0}(\varepsilon) [/mm] : [mm] d(x_{n},x{m}) [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Jedoch bin ich mir nicht sicher, inwiefern ich das verwenden kann. Habe irgendwie noch zuwenig Erfahrung damit.
Würde mich sehr freuen über etwaige Ansätze! =)
Lg Sr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: für $x = [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n)$:
[/mm]
[mm] $|x_j| \le [/mm] ||x|| [mm] \le |x_1|+ [/mm] ...+ [mm] |x_n|$ [/mm] $ [mm] \forall [/mm] $ j [mm] \in [/mm] {1,2,...n}.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Roli772 |
> [mm]|x_j| \le ||x|| \le |x_1|+ ...+ |x_n|[/mm] [mm]\forall[/mm] j [mm]\in[/mm]
> {1,2,...n}.
Danke für deine schnelle Antwort!
ok, dass kann ich mal so verwenden, dass ich zeige, dass [mm] x_{m} [/mm] gegen x konvergiert mit:
[mm] |\alpha_{m}^j| [/mm] < [mm] ||\alpha_{m}^j-\alpha^j|| [/mm] < | [mm] \alpha_{m}^1 [/mm] - [mm] \alpha^1| [/mm] + ... + | [mm] \alpha_{m}^n-\alpha^n [/mm] | (konvergiert gegen 0+...+0 = 0) [mm] \Rightarrow x_{m} [/mm] konvergiert gegen 0
aber wie ich dann zeige, dass es eine Cauchy-Folge ist, weiß ich noch immer nicht : /
Lg Sr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] |\alpha_{m}^j-\alpha_l^j| [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] ||x_m-x_l|| [/mm] $ [mm] \le [/mm] | $ [mm] \alpha_{m}^1 [/mm] $ - $ [mm] \alpha_l^1| [/mm] $ + ... + | $ [mm] \alpha_{m}^n-\alpha_l^n [/mm] $ |
FRED
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