Konvexität/ Konkavität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR^{3} \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x_{1},x_{2},x_{3})=-4*x_{1}^{2}-2*x_{2}^{2}-3*x_{3}^{2}+x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3}+12*x_{1}+9*x_{2}+x_{3}
[/mm]
a) Untersuchen Sie diese Funktion auf Konvexität/Konkavität.
b) Berechnen Sie die Extremstelle von f und begründen Sie, warum es sich dabei um das globale Extremum von f handelt. |
Hallo Leute, also ich bräuchte ein paar leicht verständliche Erklärungen zu einigen Begriffen. Beginnen wir mal mit den Ableitungen der Funktion:
[mm] f'_{x1}(x)=-8*x_{1}+x_{2}+x_{3}+12=0
[/mm]
[mm] f'_{x2}(x)=x_{1}-4*_{x2}+x_{3}+9=0
[/mm]
[mm] f'_{x3}(x)=x_{1}+x_{2}-6*x_{3}+1=0
[/mm]
[mm] Df²(x)=\pmat{ -8 & 1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & -6 }
[/mm]
So nun muss man die Funktion auf Konvexität/Konkavität untersuchen. Ich schreibe mal unsere Vorgehensweise auf (die ich nicht ganz verstehe):
det(-8)=-8<0
[mm] det\pmat{ -8 & 1 \\ 1 & -4 }=31>0
[/mm]
det D²f (x)=(-192+1+1)-(-4-8-6)=-172<0
[mm] \Rightarrow [/mm] D²f(x) ist neg. definit [mm] \Rightarrow [/mm] f ist konkav auf ganz [mm] \IR^{3}
[/mm]
konkav:-+-+-+........
Konvex:+++++.........
Also wir haben hier einige Determinanten berechnet, wobei ich nicht verstehe warum wir gerade diese berechnen. Die ganze Vorgehensweise ist mir unklar. Was hat es übrigens mit diesem -+-+-+ auf sich? Wäre nett wenn mir das jemand verständlich erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Owen,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR^{3} \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3})=-4*x_{1}^{2}-2*x_{2}^{2}-3*x_{3}^{2}+x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3}+12*x_{1}+9*x_{2}+x_{3}[/mm]
> a) Untersuchen Sie diese Funktion auf
> Konvexität/Konkavität.
> b) Berechnen Sie die Extremstelle von f und begründen Sie,
> warum es sich dabei um das globale Extremum von f handelt.
> Hallo Leute, also ich bräuchte ein paar leicht
> verständliche Erklärungen zu einigen Begriffen. Beginnen
> wir mal mit den Ableitungen der Funktion:
> [mm]f'_{x1}(x)=-8*x_{1}+x_{2}+x_{3}+12=0[/mm]
> [mm]f'_{x2}(x)=x_{1}-4*_{x2}+x_{3}+9=0[/mm]
> [mm]f'_{x3}(x)=x_{1}+x_{2}-6*x_{3}+1=0[/mm]
>
>
> [mm]Df²(x)=\pmat{ -8 & 1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & -6 }[/mm]
>
> So nun muss man die Funktion auf Konvexität/Konkavität
> untersuchen. Ich schreibe mal unsere Vorgehensweise auf
> (die ich nicht ganz verstehe):
>
> det(-8)=-8<0
>
> [mm]det\pmat{ -8 & 1 \\ 1 & -4 }=31>0[/mm]
> det D²f
> (x)=(-192+1+1)-(-4-8-6)=-172<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] D²f(x) ist neg. definit [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> konkav auf ganz [mm]\IR^{3}[/mm]
> konkav:-+-+-+........
> Konvex:+++++.........
>
> Also wir haben hier einige Determinanten berechnet, wobei
> ich nicht verstehe warum wir gerade diese berechnen. Die
> ganze Vorgehensweise ist mir unklar. Was hat es übrigens
> mit diesem -+-+-+ auf sich? Wäre nett wenn mir das jemand
> verständlich erklären könnte.
ich finde das ganze auch sehr veriwrrend notiert (dass die partiellen Ableitungen alle $=0$ gesetzt werden, brauchst Du auch eigentlich erst im Teil b), damit Du die kritischen Punkte berechnest).
Deine Funktion oben ist ein Element von [mm] $C^2(\IR^3)\,,$ [/mm] nach Satz 3.5 ![[]](/images/popup.gif) von hier ist diese genau dann konvex, wenn die Hessematrix [mm] $\triangledown^2 [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] positiv semidefinit ist.
Du wirst nachrechnen bzw. aus obiger Rechnung erkennen, dass
[mm] $$\triangledown^2 f(x)=\pmat{ -8 & 1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & -6 }\,,$$
[/mm]
d.h. die Hessematrix ist von $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] unabhängig, d.h. für alle $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] gleich bzw. konstant.
Nun kann man mittels der Hauptminoren prüfen, ob diese Matrix (sogar) positiv definit ist (vgl. Wiki: Kr. mit Hauptminoren; ich selber würde das aber mit den Eigenwerten prüfen, denn mit deren Hilfe kann man auch Semidefinitheit testen.)
Dieses
> konkav:-+-+-+........
> Konvex:+++++.........
ist zwar nicht falsch, aber wenn man die Aussagen aus dem Wiki-Link und Satz 3.5 verbindet, wäre es eher so:
Wenn die Vorzeichen der Hauptminoren der Hessematrix alle durchweg echt positiv wären (das wird von dem ++++... angedeutet) (also die Hauptminoren hier alle $> 0$), dann wäre oben die zu [mm] $\,f\,$ [/mm] zugehörige Hessematrix (an jeder Stelle $x [mm] \in \IR^3$) [/mm] positiv definit (nach Wiki) und damit [mm] $\,f\,$ [/mm] nach Satz 3.5 sogar strikt konvex, also insbesondere konvex.
Ihr habt aber festgestellt, dass oben bei der Hessematrix alle ungeraden Hauptminoren $< [mm] \,0$ [/mm] und alle geraden Hauptminoren [mm] $\,>0$ [/mm] sind, nach dem Kriterium über die Hauptminoren - vgl. den Wiki-Link oben - ist die Hessematrix also negativ definit und damit [mm] $\,f\,$ [/mm] sogar strikt konkav (vgl. auch hier), insbesondere konkav.
P.S.:
Der letzte Link steht etwas im Widerspruch zu dem bei Wiki gesagten, dass sich Semidefinitheit nicht mit den Hauptminoren zeigen läßt. Das, was bei Wiki steht, habe ich schonmal gehört, das andere scheint mir nicht richtig zu sein. Aber notfalls musst Du nochmal etwas über die Hauptminoren und den Zusammenhang zwischen den Hauptminoren und der (Semi-?)Definitheit von Matrizen nachschlagen, bzw. vll. weiß ja auch gerade hier jemand aus dem Stehgreif etwas dazu zu sagen.
Aber die Vorgehensweise an sich sollte oben nun klar sein.
P.P.S.:
Ich habe gerade hier, google books, Mathe für Wiwis nochmal nachgeschlagen. Nach Satz 9.17.3 gilt i.a. nur:
$A$ positiv semidefinit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] alle Hauptminoren [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] mit anderen Worten, so, wie es in dem Link aus Wien angedeutet wird, ist es falsch. Denn dort wird quasi benutzt, dass in Satz 9.17.3 auch [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gelten würde. Also: Alles, was in dem Link aus Wien steht, bitte mit Vorsicht genießen, da sind leider (bei der "Vorgehensweise") Fehler versteckt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:43 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Marcel und vielen Dank für die Antwort. Ich habe die Sache mit der Definitheit jetzt wohl verstanden. Aus der Definitheit kann ich ja nun den Typ der Extremstelle ableiten:
negative Definitheit [mm] \Rightarrow [/mm] konkav [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
positive Definitheit [mm] \Rightarrow [/mm] konvex [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
keine Definitheit [mm] \Rightarrow [/mm] kein Extremum
Was ich nun noch wissen würde ist: wie kann man erkennen, ob es ein lokales oder ein globales Extremum ist? Was hätte hier anders sein müssen damit es ein lokales und kein globales Extremum ist? Gibt es da vielleicht ein Beispiel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 01.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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