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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass eine konvexe Funktion f : I -> [mm] \IR [/mm] auf einen offenen Intervall I kein isoliertes lokales Maximum besitzt und höchstens ein isoliertes lokales Minimum |
Hier herrscht mal wieder die völlige Ratlosigkeit....
Bitte um Hilfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Fr 22.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Tach Bodo,
überlege Dir erst einmal, was "konvexe Funktion" überhaupt heißt:
In diesem einfachen, eindimensionalen Fall kannst Du "konvexe Funktion" ohne weiteres mit "Linkskurve" übersetzen.
Nun überlege Dir, wie die Bedingungen für ein lokales Maximum nocheinmal aussahen...
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
P.S.: Hier noch die Definition: Sei Dein offenes Intervall I.
Dann gilt für alle [mm] a,b\in [/mm] I und für alle [mm] x_0 \in [/mm] (a,b), dass
[mm] f(x_0) [/mm] < f(a) + (f(b)-f(a)) * [mm] \bruch{x_0-a}{b-a} [/mm] =: [mm] g(x_0)
[/mm]
Hier noch die Anschauung dazu: Stelle Dir die Gerade vor, die (a,f(a)) mit (b,f(b)) verbindet. (Das ist das g(x) von oben).
Dann gilt für alle [mm] x_0\in [/mm] I, dass [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] g(x_0)
[/mm]
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Also eine konvexe Funktion ist ja nichts anderes als
Sei I ein Intervall. f -> [mm] \IR [/mm] heißt konvex auf I, wenn für jedes Tripel [mm] x_1, [/mm] x, [mm] x_2 \in [/mm] I mit [mm] x_1 [/mm] < x < [mm] x_2 [/mm] folgende Ungleichung gilt.
f(x) [mm] \le \bruch{x_2 - x}{x_2 - x_1} f(x_1) [/mm] + [mm] \bruch{x - x_1}{x_2 - x_1} f(x_2)
[/mm]
So und wir können ja noch sagen das f genau dann konvex ist, wenn für jedes Tripel [mm] x_1,x,x_2 \in [/mm] I
mit [mm] x_1 [/mm] < x < [mm] x_2 [/mm] folgende Ungleichung gilt:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_1)}{x - x_1} \le \bruch{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}
[/mm]
Und wir haben ja noch f ist genau dann konvex, wenn (a;b) f´´ [mm] \ge [/mm] 0 ist...
und streng konvex, wenn f´´ > 0
Die Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] ist ja streng kovex... da f´(x) = 2x streng mononton wachsend ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 26.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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