Konvex-2.te Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:49 Do 12.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f: I -> [mm] \IR [/mm] zweimal differenzierbar und f''(x) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I => f ist konvex. |
Beweis: (des Skriptums)
z = [mm] \alpha [/mm] x + (1- [mm] \alpha) [/mm] y
f(z) = [mm] \alpha [/mm] * f(x) + (1- [mm] \alpha) [/mm] f(y) Wollen wir stehen haben.
[mm] \alpha [/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm] \alpha) [/mm] (f(z)-f(y))
wollen wir abschätzen [mm] \le \alpha [/mm] * f(x) + (1- [mm] \alpha) [/mm] f(y)
aber dazu müssen wir zeigen, das [mm] \alpha [/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm] \alpha) [/mm] (f(z)-f(y)) [mm] \le [/mm] 0 ist
[mm] \alpha [/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm] \alpha) [/mm] (f(z)-f(y)) [mm] \le [/mm] ß
Der Beweis dazu wurde durchgeführt auch verständlich.
FRAGE:
Warum muss [mm] \alpha [/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm] \alpha) [/mm] (f(z)-f(y)) [mm] \le [/mm] 0 gelten, dass man die obige Abschätzung machen darf=?
Gilt der obige Satz auch in die andere Richtung? Wie würde der beweis aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: I -> [mm]\IR[/mm] zweimal differenzierbar und f''(x) [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I => f ist konvex.
> Beweis: (des Skriptums)
> z = [mm]\alpha[/mm] x + (1- [mm]\alpha)[/mm] y
> f(z) = [mm]\alpha[/mm] * f(x) + (1- [mm]\alpha)[/mm] f(y) Wollen wir stehen
> haben.
>
Nein. Es muß gezeigt werden:
f(z) [mm] \le[/mm] [mm]\alpha[/mm] * f(x) + (1- [mm]\alpha)[/mm] f(y)
> [mm]\alpha[/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm]\alpha)[/mm] (f(z)-f(y))
> wollen wir abschätzen [mm]\le \alpha[/mm] * f(x) + (1- [mm]\alpha)[/mm]
> f(y)
> aber dazu müssen wir zeigen, das [mm]\alpha[/mm] * (f(z) - f(x) )
> + (1- [mm]\alpha)[/mm] (f(z)-f(y)) [mm]\le[/mm] 0 ist
>
> [mm]\alpha[/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm]\alpha)[/mm] (f(z)-f(y)) [mm]\le[/mm] ß
> Der Beweis dazu wurde durchgeführt auch verständlich.
>
> FRAGE:
> Warum muss [mm]\alpha[/mm] * (f(z) - f(x) ) + (1- [mm]\alpha)[/mm]
> (f(z)-f(y)) [mm]\le[/mm] 0 gelten, dass man die obige Abschätzung
> machen darf=?
$ [mm] \alpha [/mm] $ * (f(z) - f(x) ) + (1- $ [mm] \alpha) [/mm] $ (f(z)-f(y)) $ [mm] \le [/mm] $ 0 ist äquivalent zu
f(z) [mm] \le[/mm] [mm]\alpha[/mm] * f(x) + (1- [mm]\alpha)[/mm] f(y)
FRED
>
> Gilt der obige Satz auch in die andere Richtung? Wie würde
> der beweis aussehen?
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Do 12.01.2012 | | Autor: | sissile |
achso ;) Lichtchen* geht auf ;)
Danke
> Gilt der obige Satz auch in die andere Richtung? Wie würde
> der beweis aussehen? (Hinweis)
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