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Konvergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

Aufgabe
Man entscheide jeweils (Beweis oder Gegenbeispiel), ob [mm] (a_n) [/mm] gegen
Null konvergiert, falls es für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] gibt, sodass für alle n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm]
a)
[mm] |a_n^2 [/mm] + [mm] 2a_{n+1}| [/mm] <  [mm] \varepsilon [/mm]
b) [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] + 3 [mm] \wurzel{\varepsilon} [/mm]

wie funktioniert das?


        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:58 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo quasimo,

was sind deine Ansätze?
Du bist lange genug im Forum, um zu wissen, dass diese hier erwünscht sind!

> Man entscheide jeweils (Beweis oder Gegenbeispiel), ob
> [mm](a_n)[/mm] gegen
>  Null konvergiert, falls es für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein

> [mm]N(\varepsilon)[/mm] gibt, sodass für alle n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]
>  
> a) [mm]|a_n^2[/mm] + [mm]2a_{n+1}|[/mm] <  [mm]\varepsilon[/mm]

Dreiecksungleichung anwenden.

>  b) [mm]|a_n|[/mm] < [mm]\varepsilon^2[/mm] + [mm]\varepsilon[/mm] + 3 [mm]\wurzel{\varepsilon}[/mm]

Was passiert mit der rechten Seite der Ungleichung, wenn [mm] \varepsilon [/mm] klein wird?


Bezug
        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Fr 18.11.2011
Autor: fred97

Hinweis zu a):

Es gibt eine konstante Folge [mm] (a_n) [/mm] , die keine Nullfolge ist und für die gilt:

für jedes $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt es ein $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $  sodass für alle n $ [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] $ gilt:


$ [mm] |a_n^2 [/mm] $ + $ [mm] 2a_{n+1}| [/mm] $ <  $ [mm] \varepsilon [/mm] $

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

Dreiecksungleichung?
[mm] |a_n^2 [/mm] + [mm] 2a_{n+1}| \le |a_n^2| [/mm] + [mm] |2a_{n+1}| [/mm]
?

Bezug
                        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Fr 18.11.2011
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> Dreiecksungleichung?
>  [mm]|a_n^2[/mm] + [mm]2a_{n+1}| \le |a_n^2|[/mm] + [mm]|2a_{n+1}|[/mm]
>  ?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Konvergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

danke für die schnelle antwort. Aber was mache ich nun mit den ausdruck?
[mm] |a_n^2| [/mm] + [mm] |2a_{n+1}| [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + 2 [mm] |a_{n+1}| [/mm]

[mm] a_n^2 [/mm] ist ja sicher positiv.
2 kann man ja rausziehen .

Bezug
                                        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,

Die Dreiecksungleichung wird dir hier sicherlich nicht weiterhelfen (das war kein guter Tipp): Freds Beitrag hingegen schon, wenn du ihn einmal liest.

LG


Bezug
                                                
Bezug
Konvergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

Also komme ich mit der Dreiecksungleichung nicht weiter? War der Tipp nicht von dir????

Ja mit Freds beitrag kann ich  nichts anfangen

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti


> Ja mit Freds beitrag kann ich  nichts anfangen

Betrachte die konstante Folge [mm] a_n=-2. [/mm]
Stimmt dann Aussage a ?


LG

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

wie kommst af [mm] a_n [/mm] = -2
Häh?

Jetzt verstehe ich nichts mehr.
Kannst du mir nicht sagen wie ich vorgehen muss?ein rechenweg?

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti


> wie kommst af [mm]a_n[/mm] = -2

Diese Folge ist offenbar keine Nullfolge, aber

>  Häh?
>  
> Jetzt verstehe ich nichts mehr.
>  Kannst du mir nicht sagen wie ich vorgehen muss?ein
> rechenweg?

es ist für beliebiges [mm] \varepsilon>0: [/mm]

     [mm] |a_n^2+2a_{n+1}|=|(-2)^2+2(-2)|=0<\varepsilon, [/mm]

dies gilt sogar für alle [mm] n\in\IN. [/mm]

Das ist ein Widerspruch zu a).

LG


Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

du setzt für [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] dass selbe ein?
also muss ich immer schau dass [mm] \varepsilon [/mm] <0 wird als gegenbeweiß?

[mm] |a_n| [/mm] < n * [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \frac{|a_n|}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

[mm] a_n [/mm] =0
[mm] \frac{0}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
0 < [mm] \varepsilon [/mm]
???

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti


> du setzt für [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] dass selbe ein?

Ja, die Folge ist definiert als konstant -2 !

>  also muss ich immer schau dass [mm]\varepsilon[/mm] 0 wird als
> gegenbeweißs?

?

>  
> [mm]|a_n|[/mm] < n * [mm]\varepsilon[/mm]
>  [mm]\frac{|a_n|}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> [mm]a_n[/mm] =0
>  [mm]\frac{0}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] 0 < [mm]\varepsilon[/mm]
> ???

Das ergibt keinen Sinn.

Du hast doch ein Gegenbeispiel, die Folge [mm] a_n=-2 [/mm] ist keine Nullfolge und gemäß a) lässt sich für beliebiges [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N(\varepsilon)\in\IN [/mm] finden, so das $ [mm] |a_n^2 [/mm] $ + $ [mm] 2a_{n+1}|< \varepsilon [/mm] $ für [mm] n\geq N(\varepsilon). [/mm] Also folgt aus a) keineswegs, dass [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist.

Denk mal drüber nach.

LG


Bezug
                                                                                                
Bezug
Konvergiert: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:39 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo



und wie würdest du dann dan bsp
[mm] |a_n| [/mm] < n [mm] \varepsilon [/mm]
lösen, wenn für dich mein ansatz kein sinn ergibt?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Konvergiert: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:18 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

beim zweiten Beispiel
[mm] |a_n| [/mm] < n [mm] \varepsilon [/mm]
z.B für [mm] |a_n| [/mm] = 2
2 < n [mm] \varepsilon [/mm]
und für n kann ich ja jede natürliche zahl einsetzen.So mache ich [mm] \varepsilon [/mm] einfach kleiner bei höheren n. So ost es auch ein Widerspruch oder?
Da [mm] a_n [/mm] = 2 keine nullfolge ist

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Konvergiert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Fr 18.11.2011
Autor: quasimo

EGAL!
Hackerl
Hab es glaub ich

Bezug
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