Konvergierende Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mi 29.06.2005 | | Autor: | paperjam |
Hallo
Ich soll für die Reihe [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (mit [mm] $x_0 [/mm] = 0$ und [mm] $x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{3 + 2x_n}$) [/mm] den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} x_n$ [/mm] berechnen. Nachdem ich ein paar Werte ausgerechnet habe, denke ich dass der Grenzwert 3 ist, aber wie kann ich das beweisen? Mit Induktion habe ich versucht zu zeigen, dass [mm] $x_n [/mm] < 3$ ist, aber das reicht doch als Beweis nicht, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
wenn du zeigen kannst, dass die Reihe auf jeden Fall konvergiert (also z.B. beschränkt und monoton ist), dann gilt ja für große $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm]x_{n+1} \approx x_n[/mm], und somit
[mm]\wurzel{3 + 2x_n} \approx x_n[/mm]. Dann kannst du den Grenzwert ausrechnen.
Ich muß allerdings gestehen, dass ich nicht weiß, ob diese Herangehensweise hieb- und stichfest ist, vielleicht kann sich dazu nochmal jemand äußern!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mi 29.06.2005 | | Autor: | MrPink |
Prinzipiell ist der Ansatz doch ok, zeige zuerst mit Induktion , dass die Folge monoton/beschränkt ist. Dafür kannst Du ja deine Vermutung benutzen, das die Obere Schranke 3 ist. Aus monoton + beschränkt folgt direkt konvergenz. Dann berechnest du anschließend den Grenzwert in Form
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es kann sein dass Du 2 in Frage kommende Grenzwerte heraus bekommst, der eine liegt dann aber bestimmt außerhalb deiner Beschränkung, was ein widerspruch ist. Also bleibt dann nur einer über.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Was Astrid gesagt hat, ist schon ein ziemlich guter Ansatz, auch wenn sies formal nicht so schön hingeschrieben hat 
Zu zeigen ist zum ersten die Konvergenz dieser Folge.
Das geht am besten mit Monotoniekriterium.
Das heißt, Du mußt zeigen, daß für alle [mm] n\ge n_0\in\IN [/mm] gilt: [mm] x_{n+1}\ge x_n.
[/mm]
Wenn die Folge dann auch noch nach oben beschränkt ist, z.B. durch 3, dann ist sie auch konvergent.
Zum zweiten ist wohl der Grenzwert dieser Folge.
Da wir die Konvergenz ja gezeigt haben, können wir nun also hemmungslos die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden.
Insbesondere haben wir:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_n= \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}$, [/mm] also
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{3 + 2x_n}= \limes_{n\rightarrow\infty} x_n$.
[/mm]
[mm] $\wurzel{3 + 2 \limes_{n\rightarrow\infty} x_n}= \limes_{n\rightarrow\infty} x_n$,
[/mm]
Bezeichne y:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n, [/mm] also haben wir dann
[mm] $y=\sqrt{3+2y}$, [/mm] was sich wunderschön nach dem gesuchten y auflösen läßt.
Gruß,
Christian
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
