Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 11.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Reihe untersuchen auf Konvergenzverhalten.
[mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta}
[/mm]
für alle [mm] \alpha, \beta \in \IZ [/mm] |
Dachte wahrscheinlich am besten mit Vergleichskriterium . Krieg es aber nicht hin es gut abzuschätzen, dass ich zu einer mir bekannten Reihe komme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Reihe untersuchen auf Konvergenzverhalten.
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
>
> für alle [mm]\alpha, \beta \in \IZ[/mm]
> Dachte wahrscheinlich am
> besten mit Vergleichskriterium . Krieg es aber nicht hin es
> gut abzuschätzen, dass ich zu einer mir bekannten Reihe
> komme.
Versuche daher Wurzel- und Quotientenkriterium, um Konvergenz oder Divergenz zu zeigen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 11.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Quotientenkriterium
[mm] \frac{\frac{(4k+5)^\alpha}{(6(k+1)^2+3k+4)^\beta}}{\frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta}}
[/mm]
= [mm] \frac{((4k+5)^\alpha)*((6k^2+3k+1)^\beta)}{((6(k+1)^2+3k+4)^\beta)*((4k+1)^\alpha)}
[/mm]
[mm] =\frac{((4k+5)^\alpha)*((6k^2+3k+1)^\beta)}{((6k^2+15k+10)^\beta)*((4k+1)^\alpha)}
[/mm]
Wie soll ich da jetzt weiter machen=?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Quotientenkriterium
>
>
> =
> [mm]\frac{((4k+5)^\alpha)*((6k^2+3k+1)^\beta)}{((6(k+1)^2+3k+4)^\beta)*((4k+1)^\alpha)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{((4k+5)^\alpha)*((6k^2+3k+1)^\beta)}{((6k^2+15k+10)^\beta)*((4k+1)^\alpha)}[/mm]
>
> Wie soll ich da jetzt weiter machen?
Sieht schlecht aus. Wenn der Quotient gegen einen Wert < 1 konvergieren würde, könnte man sagen, die Reihe konvergiert. Aber für alle [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] konvergiert er gegen 1, und das heißt, das Quotientenkriterium liefert keine Konvergenzaussage. Wie sieht es mit dem Wurzelkriterium aus?
Viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 11.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> gegen 1, und das heißt, das Quotientenkriterium liefert
> keine Konvergenzaussage. Wie sieht es mit dem
> Wurzelkriterium aus?
sagt mir eigentlich auch nichts aus über konvergenz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> > gegen 1, und das heißt, das Quotientenkriterium liefert
> > keine Konvergenzaussage. Wie sieht es mit dem
> > Wurzelkriterium aus?
> sagt mir eigentlich auch nichts aus über konvergenz.
Schade. Dann weiß ich auch nicht weiter. Aber abakus...
Viel Erfolg,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 11.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Reihe untersuchen auf Konvergenzverhalten.
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
>
> für alle [mm]\alpha, \beta \in \IZ[/mm]
> Dachte wahrscheinlich am
> besten mit Vergleichskriterium . Krieg es aber nicht hin es
> gut abzuschätzen, dass ich zu einer mir bekannten Reihe
> komme.
Hallo,
ich würde abschätzen.
Schreibe [mm](4k+1)^\alpha[/mm] als [mm](16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}[/mm] und klammere [mm](16/6)^{0,5\alpha}[/mm] als konstanten Faktor aus.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 11.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Hallo,
> ich würde abschätzen.
> Schreibe [mm](4k+1)^\alpha[/mm] als [mm](16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}[/mm] und
> klammere [mm](16/6)^{0,5\alpha}[/mm] als konstanten Faktor aus.
$ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm] $ =$ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{((4k+1)^2)^{0,5\alpha}}{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm] $
= [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}}{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm]
Und wie soll ich jetzt den Faktor rausheben?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 11.12.2011 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > ich würde abschätzen.
> > Schreibe [mm](4k+1)^\alpha[/mm] als [mm](16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}[/mm] und
> > klammere [mm](16/6)^{0,5\alpha}[/mm] als konstanten Faktor aus.
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
> =[mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{((4k+1)^2)^{0,5\alpha}}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
>
> = [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
> Und wie soll ich jetzt den Faktor rausheben?
> LG
Wie ich schon sagte: Schreibe den von mir genannten Faktor vor die Klammer. Zum Ausgleich musst du das Reziproke des rausgezogenen Faktors in die Klammer hineinmultiplizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 11.12.2011 | | Autor: | quasimo |
= $ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}}{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm] $
$ [mm] (16/6)^{0,5\alpha} [/mm] $ Faktor
im Zähler: [mm] 16^{0,5 \alpha} [/mm] * ( [mm] k^2 [/mm] +0,5k - 1/16)
im Nenner: [mm] 6^{0,5 \alpha} [/mm] * [mm] ((\wurzel[0,5 \alpha]{k^2+0,5k+1/6})^{\beta}
[/mm]
Das im nenner ist falsch oder!? Ich verstehe nicht ganz wie ich das machen soll! Verzeih mir! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 11.12.2011 | | Autor: | abakus |
> = [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(16k^2+8k+1)^{0,5\alpha}}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
>
> [mm](16/6)^{0,5\alpha}[/mm] Faktor
>
> im Zähler: [mm]16^{0,5 \alpha}[/mm] * ( [mm]k^2[/mm] +0,5k - 1/16)
> im Nenner: [mm]6^{0,5 \alpha}[/mm] * [mm]((\wurzel[0,5 \alpha]{k^2+0,5k+1/6})^{\beta}[/mm]
>
> Das im nenner ist falsch oder!? Ich verstehe nicht ganz wie
> ich das machen soll! Verzeih mir! ;)
Die 16/6 sollten ausschließlich aus dem Zähler gezogen werden.
Es gilt [mm]16k^2+8k+1=\bruch{16}{6}(6k^2+3k+\bruch{6}{16})[/mm] , und das ist (bis auf den letzten Summanden) auch der Inhalt der unteren Klammer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 11.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Die 16/6 sollten ausschließlich aus dem Zähler gezogen
> werden.
Achso, das erklärts ;))
> Es gilt [mm]16k^2+8k+1=\bruch{16}{6}(6k^2+3k+\bruch{6}{16})[/mm]
> und das ist (bis auf den letzten Summanden) auch der Inhalt
> der unteren Klammer.
Ja.
[mm] (\bruch{16}{6})^{0,5\alpha} [/mm] * [mm] \frac{(6k^2+3k+\bruch{6}{16})}{(6k^2+3k+1)^\beta}
[/mm]
Und was muss ich nun machen? Versteh nicht ganz welches Konvergenzkriterium wir anwenen.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 12.12.2011 | | Autor: | quasimo |
abaskus noch da=?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt hast du soweit vereinfacht (wenn du die [mm] 0.5\alpah [/mm] noch in den Exponenten schreibst, dass du sehen kannst:
a) für welche kombination [mm] \alpha, \beta [/mm] bilden die [mm] a_k [/mm] keine Nullfolge , also sichere Konvergenz?
b) für welches [mm] \alpha, \beta [/mm] find ich eine Majorante, (Minorante) oder funktioniert Wurzel oder Quotientenkriterium?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> > Die 16/6 sollten ausschließlich aus dem Zähler gezogen
> > werden.
> Achso, das erklärts ;))
> > Es gilt [mm]16k^2+8k+1=\bruch{16}{6}(6k^2+3k+\bruch{6}{16})[/mm]
> > und das ist (bis auf den letzten Summanden) auch der Inhalt
> > der unteren Klammer.
> Ja.
> [mm](\bruch{16}{6})^{0,5\alpha}[/mm] *
> [mm]\frac{(6k^2+3k+\bruch{6}{16})}{(6k^2+3k+1)^\beta}[/mm]
>
Im Zähler hast Du den Exponenten [mm] $\alpha/2$ [/mm] unterschlagen. Das Reihenglied lautet
[mm] $\left(\bruch 8 3\right)^{\alpha/2}*\bruch{\left(6k^2+3k+\bruch 3 8\right)^{\alpha/2} }{(6k^2+3k+1)^\beta}$
[/mm]
Unterscheide jetzt die Fälle [mm] $\alpha [/mm] < [mm] 2\beta$, $\alpha \ge 2\beta$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 12.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> $ [mm] \left(\bruch 8 3\right)^{\alpha/2}\cdot{}\bruch{\left(6k^2+3k+\bruch 3 8\right)^{\alpha/2} }{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm] $
> Unterscheide jetzt die Fälle $ [mm] \alpha [/mm] < [mm] 2\beta [/mm] $, $ [mm] \alpha \ge 2\beta [/mm] $.
Soll ich jetzt abschätzen nach oben? Unsere umgeformte Gleichung?
$ [mm] \alpha [/mm] < [mm] 2\beta [/mm] $, Da ist die Hochzahl im Zähler größer als die im Nenner.
$ [mm] \left(\bruch 8 3\right)^{\alpha/2}\cdot{}\bruch{\left(6k^2+3k+\bruch 3 8\right)^{\alpha/2} }{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm] $ <
Ich weiß nicht ganz beim abschätzen, wie ich das mache. Wäre sehr nett wenn du mir eine erste abschätzung zeigen könntest!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fang wenigstens mal an!
für welche [mm] \alpha, \beta [/mm] sind das keine Nullfolgen?
für welche sieht man direkt, dass es konvergiert? usw.
Wenn du gar nichts selbst rumprobierst lernst dus nie, in der Vorlesung gibts ja auch vorgerechnetes, der lerneffekt ist 0 wenn wie dir alles vorkauen.
dass man was mit dem 1 und 6/16 unternehmen kann solltest du auch ausprobieren. was wenn man eines durch das andere ersetzt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 12.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Ich komme leider mit dem gar nicht weiter. Mehr als versuchen und ausprobieren kann ich leider nicht.
Ich hab es jetzt anders gemacht, weil ich da einfach gar nichts verstehe
$ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta} [/mm] $
= $ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(k*(4+1/k))^\alpha}{(k^2(6+3/k+1/k^2))^\beta} [/mm] $
= $ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{k^\alpha*(4+1/k))^\alpha}{k^{2*\beta}(6+3/k+1/k^2)^\beta} [/mm] $
4 [mm] \le [/mm] 4 + 1/k [mm] \le [/mm] 5
6 [mm] \le [/mm] 6 + 3/k + [mm] 1/k^2 \le [/mm] 7
$ [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{k^\alpha}{(k^2)^\beta} [/mm] $
$ [mm] \sum_{k=1}^\infty k^{\alpha-2\beta} [/mm] $
Jetzt müsste dass doch auch mit der Fallunterscheidung gehen.
[mm] \alpha [/mm] - [mm] 2\beta \le [/mm] 0
[mm] \alpha [/mm] - [mm] 2\beta \ge [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit gut, wenn du's noch richtig aufschreibst. nicht einfach die summe in die Welt stellen. Die Fallunterscheidung musst du dir noch überlegen. Wann hast du denn ne Minorante, wann ne Majorante?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mo 12.12.2011 | | Autor: | quasimo |
[mm] k^{\alpha-2\beta} [/mm]
> Jetzt müsste dass doch auch mit der Fallunterscheidung gehen.
Aber wie zuvor hänge ich beim Abschätzen total.
[mm] \alpha, \beta \ge [/mm] 0
Major, da nach oben abschätzen
[mm] \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta} \le \frac{(5k)^\alpha}{(6k^2)^\beta} [/mm] = [mm] \frac{5^\alpha}{6^\beta} [/mm] * [mm] k^{ \alpha - 2 \beta}
[/mm]
1. Was sagt mir die abschätzung?
2. Welche Fälle muss ich alle durchgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> [mm]k^{\alpha-2\beta}[/mm]
>
> > Jetzt müsste dass doch auch mit der Fallunterscheidung
> gehen.
>
> Aber wie zuvor hänge ich beim Abschätzen total.
> [mm]\alpha, \beta \ge[/mm] 0
> Major, da nach oben abschätzen
> [mm]\frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta} \le \frac{(5k)^\alpha}{(6k^2)^\beta}[/mm]
> = [mm]\frac{5^\alpha}{6^\beta}[/mm] * [mm]k^{ \alpha - 2 \beta}[/mm]
Sehr gut! Damit ist [mm] $\sum_{k=1}^\infty \bruch {5^\alpha} {6^\beta}*k^{\alpha - 2 \beta}$ [/mm] eine Majorante unserer Reihe. Und jetzt die Frage, wann konvergiert diese Majorante?
Ebenso schätzt Du die Reihenglieder nach unten ab und überlegst Dir, wann diese Minorante divergiert.
Fertig!
Reicht das erst mal?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 12.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Und jetzt die Frage, wann konvergiert diese Majorante?
Wie sehe ich das?? Weiß ich grade nicht.
Minorante
$ [mm] \frac{(4k+1)^\alpha}{(6k^2+3k+1)^\beta} \ge \frac{(4k)^\alpha}{(10k^2)^\beta}=\frac{(4)^\alpha}{(10)^\beta} [/mm] * [mm] k^{\alpha - 2 \beta}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Die harmonische Reihe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 12.12.2011 | | Autor: | quasimo |
hei ;)
Bringt mich trotzdem nicht zum entschluß wann Major bzw. Minor konv und wann divergent ist. Kannst du deinen Tipp vielleicht präziser geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Dann schreib doch mal auf, was Du über die harmonische Reihe weißt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 13.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Dann schreib doch mal auf, was Du über die harmonische
> Reihe weißt.
Harmonische Reihe [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}
[/mm]
Divergiert
alternierende harmonische Reihe
[mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}
[/mm]
konvergiert wegen Leibnitzkriterium
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Dann schreib doch mal auf, was Du über die harmonische
> > Reihe weißt.
> Harmonische Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}[/mm]
>
> Divergiert
Stimmt
> alternierende harmonische Reihe
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
> konvergiert wegen
> Leibnitzkriterium
Stimmt auch
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Di 13.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Frage ist nun ob
[mm] \frac{(4)^\alpha}{(10)^\beta} [/mm] * [mm] k^{\alpha - 2 \beta} [/mm]
bzw.
[mm] \frac{5^\alpha}{6^\beta} [/mm] * [mm] k^{ \alpha - 2 \beta} [/mm]
divergiert oder konvergiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt für s>0:
[mm] \sum \bruch{1}{k^s} [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] s>1
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Di 13.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Ja
was bedeutet das für?
$ [mm] \frac{(4)^\alpha}{(10)^\beta} [/mm] $ * $ [mm] k^{\alpha - 2 \beta} [/mm] $
bzw.
$ [mm] \frac{5^\alpha}{6^\beta} [/mm] $ * $ [mm] k^{ \alpha - 2 \beta} [/mm] $
..
[mm] \alpha [/mm] < [mm] 2\beta [/mm] konvergenz?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja
> was bedeutet das für?
> [mm]\frac{(4)^\alpha}{(10)^\beta}[/mm] * [mm]k^{\alpha - 2 \beta}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\frac{5^\alpha}{6^\beta}[/mm] * [mm]k^{ \alpha - 2 \beta}[/mm]
> ..
>
> [mm]\alpha[/mm] < [mm]2\beta[/mm] konvergenz?
Die Reihe
$ [mm] \sum \bruch{1}{k^{2 \beta- \alpha}} [/mm] $ konv. für $2 [mm] \beta>\alpha+1$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 13.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Die Reihe
>
> [mm]\sum \bruch{1}{k^{2 \beta- \alpha}}[/mm] konv. für [mm]2 \beta>\alpha+1[/mm]
Ja!!! ;)
aber wir haben ja noch was vor den Faktor stehen.
laut Intuition würd ich sagen Major konv und Minor div. aber dass kann ich ja nicht hinschreiben!
$ [mm] \frac{(4)^\alpha}{(10)^\beta} [/mm] $ * $ [mm] k^{\alpha - 2 \beta} [/mm] $
konv
$ [mm] \frac{5^\alpha}{6^\beta} [/mm] $ * $ [mm] k^{ \alpha - 2 \beta} [/mm] $
div
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Die Reihe
> >
> > [mm]\sum \bruch{1}{k^{2 \beta- \alpha}}[/mm] konv. für [mm]2 \beta>\alpha+1[/mm]
>
> Ja!!! ;)
> aber wir haben ja noch was vor den Faktor stehen.
Was soll das ? Für c [mm] \ne [/mm] 0 gilt:
[mm] \sum a_n [/mm] konv. [mm] \gdw \sum ca_n [/mm] konv.
In diesem Fall ist [mm] \sum ca_n [/mm] =c [mm] \sum a_n
[/mm]
FRED
> laut Intuition würd ich sagen Major konv und Minor div.
> aber dass kann ich ja nicht hinschreiben!
> [mm]\frac{(4)^\alpha}{(10)^\beta}[/mm] * [mm]k^{\alpha - 2 \beta}[/mm]
>
> konv
>
> [mm]\frac{5^\alpha}{6^\beta}[/mm] * [mm]k^{ \alpha - 2 \beta}[/mm]
> div
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Di 13.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> > > Die Reihe
> > >
> > > [mm]\sum \bruch{1}{k^{2 \beta- \alpha}}[/mm] konv. für [mm]2 \beta>\alpha+1[/mm]
>
> >
> > Ja!!! ;)
> > aber wir haben ja noch was vor den Faktor stehen.
>
> Was soll das ? Für c [mm]\ne[/mm] 0 gilt:
>
> [mm]\sum a_n[/mm] konv. [mm]\gdw \sum ca_n[/mm] konv.
>
> In diesem Fall ist [mm]\sum ca_n[/mm] =c [mm]\sum a_n[/mm]
Hei!!!,
Heißt also beide Reihen konvergieren wenn [mm]2 \beta>\alpha+1[/mm] ?
Ist dass nun die abschließende aussage für das bsp?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Di 13.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast jetzt alle Informationen. jetzt schreib wirklich mal alles in einer form zusammen, was du hier (vielleicht) gelernt hast. so wie du fragst, scheint es du schaust nicht wirklich durch. das kannst du erst sehen, wenn du alles zusammen aufschreibst und dich selbst überzeugst, dass es richtig ist.
also fass alles zu einem Beweis zusammen, schreib es auf, und sag, wo es dich selbst überzeugt, und wo es unklar ist. mit einem ja oder nein, wissen wir ja nicht, was du nun verstanden hast.
gruss leduart
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