Konvergenztest bei einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}{n^{0.75}} [/mm] |
Hi.
Ich untersuche das Konvergenzverhalten dieser Reihe
und finde keine Lösung. Quotientenkriterium und Wurzelkriterium füren auf keine vernünftigen Ergebnisse.
Der Zähler ist leider auch nur auf den ersten Blick teleskopierbar. Vielleicht eine Abschätzung? Wenn ich erweitere mit Binomi, sodass im Zähler 1 steht, dann steht im Nenner quatsch... kann mir jemand helfen??
Wie gehe ich so eine Abschätzung an?
Woher weiß ich, dass ich mit der Abschätzung nicht versehentlich die Konvergenz aus der Reihe "herausgeschätzt" habe? Die Aufgabe ist aus dem Heuser.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo indukt1on und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}{n^{0.75}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hi.
> Ich untersuche das Konvergenzverhalten dieser Reihe
> und finde keine Lösung. Quotientenkriterium und
> Wurzelkriterium füren auf keine vernünftigen Ergebnisse.
> Der Zähler ist leider auch nur auf den ersten Blick
> teleskopierbar. Vielleicht eine Abschätzung? Wenn ich
> erweitere mit Binomi, sodass im Zähler 1 steht, dann steht
> im Nenner quatsch... kann mir jemand helfen??
> Wie gehe ich so eine Abschätzung an?
Als erstes auf das Trivialkriterium schauen:
Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge?
Falls nein, bist du fertig, die Reihe divergiert.
Falls ja, schade, da kann beides passieren 
Schaue dir dann die "Größenordnung" der Reihe an, das ist - die höchsten Potenzen von n betrachtet, $\sqrt{n}$ im Zähler ausgeklammert und mit dem $n^{\frac{3}{4}$ im Nenner verwurstelt - $\frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}$
Die Reihen $\sum\frac{1}{n^s}$ sind für $s>1$ konvergent und für $s\le 1$ divergent (die harmonische Reihe ist also genau die Grenzreihe zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs)
Also könntest du auf die Idee kommen, das Vergleichskriterium heranzuziehen und durch Abschätzung nach unten (Verkleinern der Reihe) eine divergente Minorante zu finden, und zwas genau eine (Variante) des Typs $\sum\frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}$
Zum Verkleinern können wir den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern, versuchen wir's:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{4}}} \ > \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{4}}}$
Zähler verkleinert, also Bruch verkleinert
$=2\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{4}}}=2\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{3}{4}}}=2\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}$
Damit hast du deine divergente Minorante, eine kleinere Reihe als deine Ausgangsreihe, die gegen $\infty$ abhaut, was bleibt deiner größeren Reihe also anderes, als auch gegen $\infty$ abzuhauen?
> Woher weiß ich, dass ich mit der Abschätzung nicht
> versehentlich die Konvergenz aus der Reihe
> "herausgeschätzt" habe?
Hmm, immer an die Richtung der Abschätzung halten und an das, was du damit willst, es bringt nix, zB. eine konvergente Minorante zu finden, das sagt über die Konvergenz deiner Ausgangsreihe nichts aus, ebenso ist eine divergente Majorante ziemlich nutzlos (im Hinblick auf das Vgl.kriterium)
> Die Aufgabe ist aus dem Heuser.
>
> Gruß
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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Hi
Ich sehe gerade, dass ich die Reihe falsch abgeschrieben
habe...im Zähler steht zwischen den Wurzeln ein "-" und kein "+"...konvergiert dann die Reihe??
cu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi
> Ich sehe gerade, dass ich die Reihe falsch abgeschrieben
> habe...im Zähler steht zwischen den Wurzeln ein "-" und
> kein "+"...konvergiert dann die Reihe??
ja, ich habe auch gerade im Heuser nachgeguckt, da steht [mm] $$\sum \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{3/4}}\,.$$
[/mm]
Hier gilt:
[mm] $$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{3/4}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{3/4}}*\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\,.$$
[/mm]
Probier' mal, ob es Dir damit gelingt (weiterrechnen!), die Konvergenz der Reihe nachzuweisen.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n+1} - \wurzel{n})}{n^{0.75}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{0.75} * (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{0.25} * \wurzel{n+1}) + n^{1.25}} [/mm] = 0.5 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{1.25}} [/mm] |
und das ist eine harmonische reihe mit exponenten größer 1, die konvergiert. Nur darf ich diese Abschätzung überhaupt machen??? Woher weiß ich, dass ich sie machen darf? Warum spielt das +1 keine entscheidende Rolle für die Konvergenz?? Kann man das irgendwie aus der Reihe rauskriegen? Ich mein, dass wäre dann eine super Erklärung...
gruß
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Hallo nochmal,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n+1} - \wurzel{n})}{n^{0.75}}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{0.75} * (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{0.25} * \wurzel{n+1}) + n^{1.25}}[/mm]
> = 0.5 [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{1.25}}[/mm]
>
> und das ist eine "harmonische" reihe mit exponenten größer 1,
> die konvergiert. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nur darf ich diese Abschätzung überhaupt
> machen???
Warum nicht?
> Woher weiß ich, dass ich sie machen darf? Warum
> spielt das +1 keine entscheidende Rolle für die
> Konvergenz?? Kann man das irgendwie aus der Reihe
> rauskriegen?
Naja, du hast Konvergenz deiner Ausgangsreihe vermutet, da hast du mit dem Vergleichskriterium eine konvergente Majorante gesucht, also eine größere Reihe, die konvergiert.
Zum Vergrößern des Bruches kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
Letzteres hast du gemacht, es ist ja [mm] $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$
[/mm]
> Ich mein, dass wäre dann eine super
> Erklärung...
Es ist ein kleiner aber entscheidender Tippfehler drin:
Im letzten Schritt hast du ja den Nenner verkleinert (in der Klammer [mm] $\sqrt{n+1}$ [/mm] durch [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] abgeschätzt, damit den Bruch vergrößert)
Also setze im Schritt vom vorletzten Ausdruck zum letzten Ausdruck ein "<" statt des "=", dann ist es perfekt!
>
> gruß
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n+1} - \wurzel{n})}{n^{0.75}}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{0.75} * (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{\red{0.25}} * \wurzel{n+1}) + n^{1.25}}[/mm]
wieso steht da $0.25$? Meintes Du $0.75$?
> = 0.5 [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{1.25}}[/mm]
Dass da kein $=$ hingehört, hat Schachuzipus ja schon gesagt.
> und das ist eine harmonische reihe mit exponenten größer 1,
> die konvergiert. Nur darf ich diese Abschätzung überhaupt
> machen??? Woher weiß ich, dass ich sie machen darf? Warum
> spielt das +1 keine entscheidende Rolle für die
> Konvergenz?? Kann man das irgendwie aus der Reihe
> rauskriegen? Ich mein, dass wäre dann eine super
> Erklärung...
Also meinetwegen mal ganz allgemein:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^{0.75}}$ [/mm] schreibt man für die Folge der Teilsummen [mm] $(s_k)_{k \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $s_k:=\summe_{n=1}^{k} \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^{0.75}}\,.$
[/mm]
Dann kannst Du hier für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben:
[mm] $$\summe_{n=1}^{k} \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^{0.75}} \le \frac{1}{2} \sum_{n=1}^k \frac{1}{n^{1.25}}\,.$$
[/mm]
Und dann erkennst Du natürlich auch, weil [mm] $\left(\sum_{n=1}^k \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^{0.75}}\right)_{k \in \IN} \equiv \left( \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n^{0.75} \cdot{} (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} \right)_{k \in \IN}$ [/mm] offensichtlich eine monoton wachsende Folge ist, die durch [mm] $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.25}}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{2} \sum_{n=1}^k \frac{1}{n^{1.25}}$ [/mm] nach oben beschränkt ist (der letztstehende Grenzwert existiert wegen $1.25 > 1$), dass die Reihe konvergiert.
Aber wenn Du Dir mal den Beweis des Majorantenkriteriums anguckst, solltest Du erkennen, dass der im Prinzip genauso abläuft.
Also warum das alles nochmal für Spezialfälle überlegen, wenn man es auch ohne machen kann?
Also mal ganz allgemein der Tipp:
Schau' Dir bitte den Beweis des Majorantenkriteriums an (und die genaue Aussage!). Dort wird ja gesagt:
Eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert jedenfalls dann (sogar absolut), wenn es eine (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergente Reihe [mm] $\sum b_n$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|a_n| \le b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (selbstverständlich ist dann $0 [mm] \le \sum b_n \;\;(< \infty)$).
[/mm]
Und was benutzt man beim Beweis dieser Aussage dann, um die Aussage darauf zurückzuführen, dass nach oben beschränkte monoton wachsende Folgen konvergieren?
Genau:
Die Dreiecksungleichung (für endlich viele Summanden), damit man auch eine obere Schranke für [mm] $\sum |a_n|$ [/mm] hinschreiben kann.
Edit: Vergiss' das bitte in diesem Zusammenhang, ich glaube, ich war da gerade beim Beweis, dass absolut konvergente Reihen auch konvergieren. Da benutzt man die Dreiecksungleichung für endlich viele Summanden... Das liegt daran, dass ich manchmal beides in einem beweise ^^.
(Und ![[]](/images/popup.gif) hier, Satz 6.15 auch, das konvergente Folgen insbesondere beschränkt sind. Wobei man dort genausogut [mm] $M:=\sum_{v=0}^\infty b_v$ [/mm] hätte definieren können.)
P.S.:
Selbstverständlich sollte man sich auch daran erinnern, dass absolut konvergente Reihen insbesondere konvergieren.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | [mm]{\frac {\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}{\ln \left( {n}^{\sqrt {n}} \right) }} > {\frac {\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}{{n}^{\sqrt {n}}-1}} > {\frac {\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}{{n}^{\sqrt {n}}}} > {\frac {1}{{n}^{\sqrt {n}} \left( \sqrt {n+1}+\sqrt {n} \right) }}
[/mm]
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Hi
also ich versuche jetzt grad die nächste aufgabe zu lösen.
den natürlichen log hab ich über die taylorreihe abgeschätzt in den ersten schritten. Aber wie kann ich den Rest noch Abschätzen bzw. Vereinfachen. Mein Ziel ist es nachher eine Reihe mit [mm] 1/n^s [/mm] zu haben wobei s zwischen 0 und 1 liegt.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi
> also ich versuche jetzt grad die nächste aufgabe zu lösen.
> den natürlichen log hab ich über die taylorreihe
> abgeschätzt in den ersten schritten. Aber wie kann ich den
> Rest noch Abschätzen bzw. Vereinfachen. Mein Ziel ist es
> nachher eine Reihe mit [mm]1/n^s[/mm] zu haben wobei s zwischen 0
> und 1 liegt.
wir wissen hier nicht, was die Ausgangsreihe ist und welche Abschätzung überhaupt von Dir stammt:
> [mm]{\frac {\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}{\ln \left( {n}^{\sqrt {n}} \right) }} \red{\overset{(2)}{>}} {\frac {\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}{{n}^{\sqrt {n}}-1}} >\ {\frac {\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}{{n}^{\sqrt {n}}}} \red{\overset{(1)}{>}} {\frac {1}{{n}^{\sqrt {n}} \left( \sqrt {n+1}+\sqrt {n} \right) }}
[/mm]
Zu $(2)$:
Die Abschätzung scheint zu stimmen. Aber kannst Du das mal etwas ausführlicher aufschreiben, was Du da gemacht hast? Dort brauchst Du aber $n > [mm] 1\,.$
[/mm]
Zu $(1)$:
Da gehört ein [mm] $\blue{=}$ [/mm] hin!
Leider bringt Dir das nichts, denn:
[mm] $$\sum \frac {1}{{n}^{\sqrt {n}} \left( \sqrt {n+1}+\sqrt {n} \right) } \le \sum \frac [/mm] {1}{n [mm] \left( \sqrt {n+1}+\sqrt {n} \right) [/mm] } [mm] \le \sum \frac [/mm] {1}{n [mm] \sqrt [/mm] {n} [mm] }=\sum \frac{1}{n^{3/2}} [/mm] < [mm] \infty\,.$$
[/mm]
Deine Abschätzung liefert Dir also nur eine konvergente Minorante. Oder mit anderen Worten:
Du hast zu hart mit dem Holzhammer drauflosgekloppt.
Wie wäre es damit:
[mm] $$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\ln(n^{\sqrt{n}})}=\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\sqrt{n}*\ln(n)} \ge \frac{1}{2\sqrt{n+1}*\sqrt{n+1}*\ln(n+1)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}\,.$$
[/mm]
Und [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\;\ln(n)}$ [/mm] hat nach dem Cauchyschen Verdichtungssatz das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{2^n\;\ln(2^n)}=\frac{1}{\ln(2)}\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Also?
Gruß,
Marcel
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Die zweite Abschätzung erfolgt mit der Taylorreihe des Logaritmus. Ich finde die Idee das ganze so Abzuschätzen eigentlich ganz gut. Ist diese Abschätzung dann generell schlecht bzw. zu grob??
cu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die zweite Abschätzung erfolgt mit der Taylorreihe des
> Logaritmus. Ich finde die Idee das ganze so Abzuschätzen
> eigentlich ganz gut. Ist diese Abschätzung dann generell
> schlecht bzw. zu grob??
generell kann man das nicht sagen, aber in diesem Falle hier bekommst Du damit ja nur eine konvergente Minorante, also ist die Abschätzung in diesem Falle zu grob.
(Deswegen habe ich ja gesagt, Du hast (hier) zu hart mit dem Holzhammer drauflosgekloppt .)
Das wurde ja schon angesprochen, dass man mit manchen Abschätzungen einfach, weil die dann zu grob werden (so dass man entweder eine divergente Majorante oder eine konvergente Minorante hat), keine Aussage mit dem Majorantenkriterium (manche nennen das andere auch separat Minorantenkriterium) treffen kann.
Aber Du kennst doch sicher die Regel, die ich verwendet habe:
[mm] $$\ln(x^y)=y*\ln(x)\;\;\;\text{ (Unter gewissen Voraussetzungen.)}$$ [/mm]
Man sollte auch nicht immer versuchen, direkt "draufloszukloppen", sondern erstmal schauen, ob vll. manche Äquivalenzumformungen nicht vll. doch besser sichtbar machen, welche Abschätzungen weiterhelfen könnten...
(Das hatten wir ja auch schon, wo im Zähler [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ [/mm] stand, da war eine Äquivalenzumformung mittels der dritten bin. Formel doch zunächst sehr hilfreich.)
Gruß,
Marcel
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