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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius und-verhalten
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Konvergenzradius und-verhalten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Fr 08.07.2005
Autor: Matze_V

Hallo allerseits,

ich knobele gerade an einer Potenzreihe, die mich verzweifeln lässt.

[mm] \summe_{k=3}^{ \infty} \bruch{2^{k}}{k*3^{k}}*(x-2)^{k} [/mm]

Gefragt ist nach dem Entwicklungszentrum [mm] x_{0}, [/mm] dem offenen Konvergenzintervall (also ohne Randpunkte) und dem Konvergenzverhalten für x=5

Zunächst hab ich umgestellt auf
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{2}{3})^{k+3}* \bruch{1}{k+3}*(x-2)^{k+3} [/mm]

Das Entwicklungszentrum ist doch [mm] x_{0}=2 [/mm]
Für den Konvergenzradius bekomme ich nach der Formel r=  [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm]  |= [mm] \bruch{3}{2} [/mm]
Also konvergiert die Reihe für  [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{7}{2} [/mm]

Für x=5 sieht die Reihe ja so aus :
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{2}{3})^{k+3}* \bruch{3^{k+3}}{k+3} [/mm] =  [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{2^{k+3}}{k+3} [/mm]

Und da  [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k+3}}{k+3}= \infty [/mm]
heist das doch, dass die Reihe für x=5 divergiert.

Als ich mein Ergebnis in Mathcad überprüfen wollte, habe ich folgendes Ergebniss bekommen:
  [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{2^{k+3}}{k+3} \to [/mm] -4-i* [mm] \pi [/mm]

Was habe ich hier falsch gemacht oder übersehen ???

Vielen Dank im vorraus für Anregungen oder Tips,
Gruß Matze.
        
Bezug
Konvergenzradius und-verhalten: Auch unklar ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Fr 08.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Matze!


> [mm]\summe_{k=3}^{ \infty} \bruch{2^{k}}{k*3^{k}}*(x-2)^{k}[/mm]
>  
> Gefragt ist nach dem Entwicklungszentrum [mm]x_{0},[/mm] dem offenen
> Konvergenzintervall (also ohne Randpunkte) und dem
> Konvergenzverhalten für x=5
>  
> Zunächst hab ich umgestellt auf
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{2}{3})^{k+3}* \bruch{1}{k+3}*(x-2)^{k+3}[/mm]
>  
> Das Entwicklungszentrum ist doch [mm]x_{0}=2[/mm]

[ok]


> Für den Konvergenzradius bekomme ich nach der Formel r=  
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]  |= [mm]\bruch{3}{2}[/mm]

Scheinbar richtig gerechnet, aber falsch aufgeschrieben:

$r \ = \ [mm] \limes_{\red{n} \rightarrow \infty} \left|\bruch{a_{\red{n}}}{a_{\red{n+1}}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm]


>  Also konvergiert die Reihe für  [mm]\bruch{1}{2} \le[/mm] x [mm]\le \bruch{7}{2}[/mm]

[ok][notok]

[aufgemerkt] Die beiden Gleichheitszeichen, sprich: die Werte [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{2}$ [/mm] wären noch gesondert zu untersuchen (anscheinend nicht Bestandteil dieser Aufgabenstellung).


Letztendlich sollte wohl herauskommen:

Konvergenz für  [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ [mm] \blue{\le} [/mm] \ x \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \bruch{7}{2}$ [/mm]


  
> Für x=5 sieht die Reihe ja so aus :
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{2}{3})^{k+3}* \bruch{3^{k+3}}{k+3}[/mm] =  [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{2^{k+3}}{k+3}[/mm]
>  
> Und da  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k+3}}{k+3}= \infty[/mm]
>  
> heist das doch, dass die Reihe für x=5 divergiert.

[ok] Das siehst Du ja bereits daran, daß $x \ = \ 5$ außerhalb des Konvergenzbereiches [mm] $\left[ \ \bruch{1}{2} \ ; \ \bruch{7}{2} \ \right[$ [/mm] liegt.

Zudem erfüllt [mm] $a_k [/mm] \ := \ [mm] \bruch{2^{k+3}}{k+3}$ [/mm] auch nicht das notwendige Kriterium einer Nullfolge !!


> Als ich mein Ergebnis in Mathcad überprüfen wollte, habe
> ich folgendes Ergebniss bekommen:
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{2^{k+3}}{k+3} \to[/mm] -4-i*[mm]\pi[/mm]

Oha! [kopfkratz3] Also dieses Ergebnis ist mit schleierhaft [keineahnung] !!

  
> Was habe ich hier falsch gemacht oder übersehen ???

Meiner Meinung nach hast Du alles richtig gemacht. Du kannst Deine Verzweiflung also wieder wegräumen ;-) ...

Hast Du die Eingabe bei MathCad nochmal überprüft?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius und-verhalten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Fr 08.07.2005
Autor: Matze_V

Vielen Dank erst mal Loddar,

mit der Formel für r und den Ungleichheitszeichen für das Intervall hab ich mich wohl vertippt :-)

Mit  [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k+3}}{k+3}= \infty [/mm] prüfe ich doch das notwendige Kriterium  [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_{k}=0 [/mm] ?!

Und bei Mathcad hab ich allemöglichen Eingabemöglichkeiten versucht, bekomme aber immer das selbe Ergebniss.

Tja, werd mich dann mal von Mathcad nicht weiter verunsichern lassen und rechne einfach im Kopf weiter :-)

Gruß Matze
Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius und-verhalten: Betonung / Verdeutlichung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:15 Fr 08.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Matze!

> Mit [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k+3}}{k+3}= \infty[/mm] prüfe ich doch das notwendige Kriterium [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a_{k}=0[/mm] ?!

Völlig richtig! [ok]
Ich wollte es halt nur nochmals als notwendiges Kriterium betonen ...


> Tja, werd mich dann mal von Mathcad nicht weiter
> verunsichern lassen und rechne einfach im Kopf weiter.

Das soll manchmal gar nicht die schlechteste Variante sein ;-) ...


Gruß
Loddar

Bezug
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