Konvergenzradius der Inversen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Es ist eine einfache Aufgabe, sich zu überlegen, dass im Ring der formalen Potenzreihen [mm] $R[\![X]\!]$ [/mm] ein Element [mm] $a=\sum a_k X^k$ [/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn [mm] $a_0$ [/mm] eine Einheit in $R$ ist (man erhält auch eine rekursive Formel für die Koeffizienten der inversenen Potenzreihe).
| Aufgabe | | Sei [mm] $a=\sum a_kX^k\in\IC[\![X]\!]$ [/mm] mit [mm] $a_0\not=0$ [/mm] und [mm] $b=\sum b_kX^k$ [/mm] so, dass $ab=1$. Ferner habe $a$ einen Konvergenzradius $>0$. Wie kann ich einsehen, dass auch $b$ einen Konvergenzradius $>0$ hat? |
Ich habe es bisher versucht mit Cauchy-Hadamard, allerdings scheint mir die Formel für die [mm] $b_k$ [/mm] zu kompliziert, um die Formel für den Konvergenzradius von $b$ auf den von $a$ zurückzuführen.
Außerdem (und das scheint mir eher erfolgsversprechend) habe ich versucht, einfach eine Zahl $c>0$ zu finden und direkt zu zeigen, dass [mm] $\sum b_k x^k$ [/mm] für $x<c$ konvergiert. Aber auch das hat bisher nicht funktioniert. Ich kann mir auch nicht wirklich vorstellen, wie sich der Radius verändern kann. Wenn ich mir zum Beispiel die Potenzreihe [mm] $(1-X)^2$ [/mm] ansehe, hat sie unendlichen Konvergenzradius, die Inverse hat den Konvergenzradius 1.
Ich freue mich über Hilfe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Fr 31.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es ist eine einfache Aufgabe, sich zu überlegen, dass im
> Ring der formalen Potenzreihen [mm]R[\![X]\!][/mm] ein Element
> [mm]a=\sum a_k X^k[/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn [mm]a_0[/mm] eine
> Einheit in [mm]R[/mm] ist (man erhält auch eine rekursive Formel
> für die Koeffizienten der inversenen Potenzreihe).
>
> Sei [mm]a=\sum a_kX^k\in\IC[\![X]\!][/mm] mit [mm]a_0\not=0[/mm] und [mm]b=\sum b_kX^k[/mm]
> so, dass [mm]ab=1[/mm]. Ferner habe [mm]a[/mm] einen Konvergenzradius [mm]>0[/mm]. Wie
> kann ich einsehen, dass auch [mm]b[/mm] einen Konvergenzradius [mm]>0[/mm]
> hat?
>
>
> Ich habe es bisher versucht mit Cauchy-Hadamard, allerdings
> scheint mir die Formel für die [mm]b_k[/mm] zu kompliziert, um die
> Formel für den Konvergenzradius von [mm]b[/mm] auf den von [mm]a[/mm]
> zurückzuführen.
>
> Außerdem (und das scheint mir eher erfolgsversprechend)
> habe ich versucht, einfach eine Zahl [mm]c>0[/mm] zu finden und
> direkt zu zeigen, dass [mm]\sum b_k x^k[/mm] für [mm]x
> Aber auch das hat bisher nicht funktioniert. Ich kann mir
> auch nicht wirklich vorstellen, wie sich der Radius
> verändern kann. Wenn ich mir zum Beispiel die Potenzreihe
> [mm](1-X)^2[/mm] ansehe, hat sie unendlichen Konvergenzradius, die
> Inverse hat den Konvergenzradius 1.
>
> Ich freue mich über Hilfe.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Mit dem Cauchyprodukt : $ab= [mm] \sum c_kX^k, [/mm] $
wobei
[mm] c_n=\summe_{j=1}^{n}a_jb_{n-j} [/mm] (n [mm] \in \IN_0).
[/mm]
Nun ist $ab=1$, also
[mm] a_0b_0=c_0=1
[/mm]
[mm] a_0b_1+a_1b_0=0
[/mm]
[mm] a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0
[/mm]
...........
Man bekommt
[mm] b_n=-\frac{1}{a_0}\summe_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}
[/mm]
Ich hoffe, das hilft.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort! Wie man die Inverse berechnet, wusste ich schon. Das ist das, was ich mit "rekursiver Formel für die Koeffizienten" meinte. Soll ich Cauchy-Hadamard auf deine Formel für [mm] $b_n$ [/mm] anwenden? Damit komme ich auf keinen grünen Zweig.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Werden bei dir auch ganz viele Formeln nicht angezeigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 02.08.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Antwort! Wie man die Inverse berechnet,
> wusste ich schon. Das ist das, was ich mit "rekursiver
> Formel für die Koeffizienten" meinte. Soll ich
> Cauchy-Hadamard auf deine Formel für [mm]b_n[/mm] anwenden? Damit
> komme ich auf keinen grünen Zweig.
Wenn $a$ einen Konvergenzradius $> 0$ hat, gibt es auch eine gewisse Kreisscheibe um 0, auf der $a$ nicht den Wert 0 annimmt -- schliesslich ist $a$ stetig und $a(0) [mm] \neq [/mm] 0$. Auf dieser Kreisscheibe ist $f(z) := [mm] \frac{1}{a(z)}$ [/mm] stetig und holomorph, da $a$ holomorph ist. Nun muss die Potenzreihenentwicklung von $f$ gleich $b$ sein (Identitätssatz), womit die durch $b$ definierte Funktion holomorph auf einer Kreisscheibe um $0$ ist. Da der Konvergenzradius von $b$ (um 0) der grösste Radius einer Kreisscheibe um 0 ist, auf der die Funktion holomorph fortsetzbar ist, ist der Konvergenzradius von $b$ also echt grösser als 0.
Das explizit mit der Koeffizientenfolge [mm] $b_n$ [/mm] herzuleiten ist nicht sehr trivial, da der Konvergenzradius nicht nur von dem von $a$ abhängt, sondern auch von den Nullstellen von $a$. Genauer: der Konvergenzradius von $b$ ist das Minimum vom Konvergenzradius von $a$ sowie den Beträgen der Nullstellen von der durch $a$ definierten holomorphen Funktion. Und da sich die Nullstellen dieser Funktion nicht so einfach aus den Koeffizienten herleiten lassen ist es dementsprechend auch schwer, etwas über den Konvergenzradius von $b$ auszusagen.
> P.S.: Werden bei dir auch ganz viele Formeln nicht
> angezeigt?
Das Problem sollte seit Freitag Nachmittag behoben sein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo felixf,
Ich bedanke mich auf alle Fälle für deine ausführliche Antwort. Leider übersteigt sie mein Analysis-Wissen. Die Aufgabe stammt aus einem Analysis1-Buch aus dem Kapitel über Folgen und Reihen, bevor man etwas über Differenzierbarkeit reeller (geschweige denn komplexer) Funktionen weiß. Wenn es nicht elementarer geht, verschiebe ich die Aufgabe auf später.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: War als Mitteilung gedacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Do 06.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Es geht elementar ! Wir wollten ja nicht den Konvergenzradius von $b$ dingfest machen,
sondern nur zeigen, dass $b$ einen positiven Konvergenzradius hat.
Wir hatten:
$ ab= [mm] \sum c_kX^k, [/mm] $
wobei
$ [mm] c_n=\summe_{j=1}^{n}a_jb_{n-j} [/mm] $ (n $ [mm] \in \IN_0). [/mm] $
Nun ist $ ab=1 $, also
$ [mm] a_0b_0=c_0=1 [/mm] $
$ [mm] a_0b_1+a_1b_0=0 [/mm] $
$ [mm] a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0 [/mm] $
...........
Man bekommt
$ [mm] b_n=-\frac{1}{a_0}\summe_{k=1}^{n}a_kb_{n-k} [/mm] $
Ohne Einschränkung können wir [mm] a_0=1 [/mm] annehmen. Dann haben wir:
[mm] b_0=1
[/mm]
und
(*) $ [mm] b_n=-\summe_{k=1}^{n}a_kb_{n-k} [/mm] $ für $n [mm] \ge [/mm] 1.$
Da $a$ einen positiven Konvergenzradius hat, gibt es ein $r>0$ mit:
[mm] |a_n| \le r^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Mit (*) sieht man nun induktiv:
[mm] |b_n| \le \bruch{1}{2}(2r)^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Es folgt:
$ [mm] limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|b_n|} \le [/mm] 2r$.
Die Potenzreihe $b$ hat also einen Konvergenzradius [mm] \ge \bruch{1}{2r}.
[/mm]
FRED
|
|
|
|
Dass Potenzreihen auf der Konvergenzkreisscheibe stetige Funktionen definieren wird dort sicher behandelt. Damit bekommst du eine Kreisscheibe um 0, auf der $a$ konvergiert und keine Nullstellen hat. Wenn du nun zeigen kannst, dass in jedem der Punkte dieser Kreisscheibe $b$ konvergiert, bist du schon fertig.
