Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:29 So 24.01.2010 | | Autor: | kirikiri |
| Aufgabe | | gesucht sei der Konvergenzradius und das Verhalten an den Grenzbereichen. [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^2*5^k} [/mm] |
Wurzelkriterium:
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{a_{k}}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k^2*5^k}}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{k^2}*5}}=\bruch{1}{\bruch{1}{1*5}}=5
[/mm]
2 Fragen:
1. Was ist hier schiefgelaufen?
2. Hätte ich lieber das Quotientenkrit. anwenden sollen? Woran hätte ich das erkennen können.. sprich, wann empfielt sich das w-, wann das q-kriterium?
danke imvoraus für eure Hilfe
Kiri
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> gesucht sei der Konvergenzradius und das Verhalten an den
> Grenzbereichen. [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^2*5^k}[/mm]
> Wurzelkriterium:
>
>
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{a_{k}}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k^2*5^k}}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{k^2}*5}}=\bruch{1}{\bruch{1}{1*5}}=5[/mm]
>
> 2 Fragen:
>
> 1. Was ist hier schiefgelaufen?
Hallo,
keine Ahnung, vielleicht sagst Du mal, was Dir mißfällt.
> 2. Hätte ich lieber das Quotientenkrit. anwenden sollen?
> Woran hätte ich das erkennen können.. sprich, wann
> empfielt sich das w-, wann das q-kriterium?
Da Du "hoch k" drin hast, ist das Wurzelkriterium naheliegend. Aber probier doch einfach auch mal das Quotientenkriterium.
Wenn eins nicht klappt, nimmt man das andere.
Quotientenkriterium funktioniert z.B. oft gut, wenn man es mit Fakultäten zu tun hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 24.01.2010 | | Autor: | kirikiri |
Danke.
ich erhalte mit dem Quotientenkrit.
[mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(k+1)^2*5^(k+1)}{k^2*5^k}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^2+k+1}{k^2}*5|=\limes_{k\rightarrow\infty}|(1+\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^2})*5|=5
[/mm]
Laut Musterlösung meines Profs müsste aber -5,5 rauskommen. ;(
Und wie prüfe ich nun genau das verhalten an den grenzen, ich setze für x=-5,5 und suche den Grenzwert gegen Unendlich, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kirikiri!
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(k+1)^2*5^(k+1)}{k^2*5^k}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^2+k+1}{k^2}*5|=\limes_{k\rightarrow\infty}|(1+\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^2})*5|=5[/mm]
>
> Laut Musterlösung meines Profs müsste aber -5,5
> rauskommen. ;(
Das kann ich aber nicht nachvollziehen. Auch ich komme auf Deinen Wert.
> Und wie prüfe ich nun genau das verhalten an den grenzen,
> ich setze für x=-5,5 und suche den Grenzwert gegen
> Unendlich, richtig?
Nein, Du musst die beiden Randwerte in die Ausgangsreihe einsetzen und die jeweils entstehende Reihe separat untersuchen auf Reihenkonvergenz.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 24.01.2010 | | Autor: | kirikiri |
Ich danke euch!!
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> Danke.
>
> ich erhalte mit dem Quotientenkrit.
>
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(k+1)^2*5^(k+1)}{k^2*5^k}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^2+k+1}{k^2}*5|=\limes_{k\rightarrow\infty}|(1+\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^2})*5|=5[/mm]
>
> Laut Musterlösung meines Profs müsste aber -5,5
> rauskommen. ;(
>
> Und wie prüfe ich nun genau das verhalten an den grenzen,
> ich setze für x=-5,5 und suche den Grenzwert gegen
> Unendlich, richtig?
es stand bestimmt eher als konvergenzbereich in der lösung (-5;5) wobei ich die randpunkte jetzt selber noch nicht angeschaut hab
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 So 24.01.2010 | | Autor: | kirikiri |
bingo.. danke!
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