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Konvergenzradius bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 So 18.05.2008
Autor: damien23

Aufgabe
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen

[mm] a.)\summe_{n=0}^{\infty} n!*z^{n} [/mm]

b.) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n!} [/mm]

Bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz richtig ist.

zu a.) zum Konvergenzradius :

=> r= lim [mm] \bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} [/mm] und [mm] a_{n}= [/mm] n!

=> r= lim [mm] \bruch{n!}{(n+1)!}= [/mm] lim [mm] \bruch{n!}{n!*(n+1)}= [/mm] lim [mm] \bruch{1}{n+1}=0 [/mm]

Stimmt dies?

Dann konvergiert die Reihe doch nur für z = 0


b.) hier stehe ich leider auf dem Schlauch ich hoffe ihr könnt mir helfen

MfG
Damien

        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Wurzelkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 So 18.05.2008
Autor: Loddar

Hallo damien!


Aufgabe 1 hast Du richtig gelöst.


Bei der 2. Aufgabe kannst Du wie folgt umformen:
[mm] $$z^{n!} [/mm] \ = \ [mm] z^{(n-1)!*n} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ z^{(n-1)!} \ \right]^n$$ [/mm]
Wende nun das Wurzelkriterium an und denke auch mal an die geometrische Reihe.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mo 19.05.2008
Autor: damien23

Danke Loddar für den Tipp.

Stehe aber leider weiterhin etwas auf dem Schlauch.

Wurzelkriterium bedeutet ja:

für ein festes q<1 gilt n-te [mm] \wurzel{|a_{n}|}\le [/mm] q ab nem bestimmten
[mm] n_{0} [/mm]

wie lautet denn das [mm] a_{n}? [/mm]

MfG
Damien


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mo 19.05.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke Loddar für den Tipp.
>  
> Stehe aber leider weiterhin etwas auf dem Schlauch.
>  
> Wurzelkriterium bedeutet ja:
>  
> für ein festes q<1 gilt n-te [mm]\wurzel{|a_{n}|}\le[/mm] q ab nem
> bestimmten
> [mm]n_{0}[/mm]
>  
> wie lautet denn das [mm]a_{n}?[/mm]

die Reihe hat die Darstellung $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n!}= \summe_{n=0}^{\infty} a_n$, [/mm] d.h. es gilt [mm] $a_n=z^{n!}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_0$. [/mm] Das liefert [mm] $\sqrt[n]{|z^{n!}|}=|z^{(n-1)!}|=|z|^{(n-1)!}$ [/mm] (für jedes $n [mm] \in \IN$). [/mm]
Nun solltest Du die Fälle $|z|<1$, $|z|=1$ und $|z|>1$ getrennt untersuchen...

Gruß,
Marcel

Bezug
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