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Konvergenzradius berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Sa 16.02.2013
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} \right ) x^k[/mm]


Hallo zusammen,

zum Berechnen des Konvergenzradius' [mm]r[/mm] nutze ich in diesem Fall:

[mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]

Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier tun, damit sich diese "wegheben"?

Vielen Dank für Eure Hilfe,
Patrick

        
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Sa 16.02.2013
Autor: abakus


> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} \right ) x^k[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> zum Berechnen des Konvergenzradius' [mm]r[/mm] nutze ich in diesem
> Fall:
>  
> [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>  
> Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> tun, damit sich diese "wegheben"?

Gar nicht, denn wir wissen ja alle: "Aus Differenzen und Summen
kürzen nur ... gewisse Leute."
Auf alle Fälle ist der Nenner geringfügig größer als der Zahler, und damit ist der Bruch geringfügig kleiner als 1.
Gruß Abakus

>  
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
>  Patrick


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Sa 16.02.2013
Autor: Apfelchips


Hallo Abakus,

> > [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>  
> >  

> > Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> > [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> > tun, damit sich diese "wegheben"?
>  Gar nicht, denn wir wissen ja alle: "Aus Differenzen und
> Summen
>  kürzen nur ... gewisse Leute."

Genau – deswegen hätte ich es auch niemals gewagt, einfach so herumzukürzen. ;-)

>  Auf alle Fälle ist der Nenner geringfügig größer als
> der Zahler, und damit ist der Bruch geringfügig kleiner
> als 1.

Aber wie zeige ich das? Wenn da nur [mm]\frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}}[/mm] stünde, dann wär's kein Problem:

[mm]\lim_{k\rightarrow \infty } \frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k+2}{k+1} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k(1+\frac{2}{k})}{k(1+\frac{1}{k})} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{2}{k}}{1+\frac{1}{k}} = 1[/mm]

Gruß
Patrick



Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Sa 16.02.2013
Autor: abakus


>
> Hallo Abakus,
>  
> > > [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> > > [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> > > tun, damit sich diese "wegheben"?
>  >  Gar nicht, denn wir wissen ja alle: "Aus Differenzen
> und
> > Summen
>  >  kürzen nur ... gewisse Leute."
>  
> Genau – deswegen hätte ich es auch niemals gewagt,
> einfach so herumzukürzen. ;-)
>  
> >  Auf alle Fälle ist der Nenner geringfügig größer als

> > der Zahler, und damit ist der Bruch geringfügig kleiner
> > als 1.
>  
> Aber wie zeige ich das? Wenn da nur

Hallo,
[mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler gegen Null, Nenner >1).
Gruß Abakus

> [mm]\frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}}[/mm] stünde, dann wär's
> kein Problem:
>  
> [mm]\lim_{k\rightarrow \infty } \frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k+2}{k+1} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k(1+\frac{2}{k})}{k(1+\frac{1}{k})} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{2}{k}}{1+\frac{1}{k}} = 1[/mm]
>  
> Gruß
>  Patrick
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Sa 16.02.2013
Autor: Apfelchips


Hallo nochmals,

>  [mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>  
> und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler
> gegen Null, Nenner >1).

danke für die Antwort. Leider kann ich den Schritt vom Ausdruck hinter dem ersten Gleicheitszeichen zum Ausdruck hinter dem zweiten Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen. Was hast Du da gemacht?

Viele Grüße
Patrick

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Sa 16.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Patrick,


>
> Hallo nochmals,
>  
> >  [mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]

>  
> >  

> > und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler
> > gegen Null, Nenner >1).
>  
> danke für die Antwort. Leider kann ich den Schritt vom
> Ausdruck hinter dem ersten Gleicheitszeichen zum Ausdruck
> hinter dem zweiten Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen.
> Was hast Du da gemacht?

Ist doch extra in rot markiert.

Es wurde eine "nahrhafte" Null addiert, nämlich [mm] $\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+2}=0$ [/mm]

Damit wurde der Ausdruck wertemäßig nicht verändert, aber die folgende Umformung "deutlicher sichtbar"

>  
> Viele Grüße
>  Patrick

LG

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Sa 16.02.2013
Autor: abakus


> Hallo Patrick,
>  
>
> >
> > Hallo nochmals,
>  >  
> > >  [mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]

>  
> >  

> > >  

> > > und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler
> > > gegen Null, Nenner >1).
>  >  
> > danke für die Antwort. Leider kann ich den Schritt vom
> > Ausdruck hinter dem ersten Gleicheitszeichen zum Ausdruck
> > hinter dem zweiten Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen.
> > Was hast Du da gemacht?

Hallo,
ich habe
[mm]\frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} [/mm] zerlegt in [mm] \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right - \frac{\red{ \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} [/mm].
Der vordere Bruch ist (da Zähler und Nenner gleich sind) einfach nur 1.
Gruß Abakus


Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:51 Sa 16.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo zusammen,

oh! Der Fragesteller meinte ja den nächsten Schritt - habe mich vertan bzw. zu ungenau gelesen - [sorry]


Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Konvergenzradius berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Sa 16.02.2013
Autor: fred97


> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} \right ) x^k[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> zum Berechnen des Konvergenzradius' [mm]r[/mm] nutze ich in diesem
> Fall:
>  
> [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>  
> Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> tun, damit sich diese "wegheben"?
>  
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
>  Patrick



Für x=1 ist die Potenzreihe divergent (siehst Du das ?)

Für |x|<1 ist

$|(1+ [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \frac{1}{k+1} [/mm] ) [mm] x^k| \le (k+1)|x|^k$ [/mm]


Damit ist die Potenzreihe für |x|<1 konvergent.

Was ist also der Konv.-Radius ?

FRED

Bezug
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