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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Di 03.06.2014 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5}{2^n}x^n
[/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n+1}}{2^n}x^n
[/mm]
Was passiert an den Rändern der jeweiligen Konvergenzbereiche? |
Hallo,
die Konvergenzradien habe ich bereits bestimmt. Bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5}{2^n}x^n [/mm] ist r=2. Daraus folgt, dass |x|<2 die Reihe konvergiert und für |x|>2 die Reihe divergiert.
Bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n+1}}{2^n}x^n [/mm] ist r= [mm] \bruch{2}{3}. [/mm] Daraus folgt, dass |x|< [mm] \bruch{2}{3} [/mm] die Reihe konvergiert und für |x|> [mm] \bruch{2}{3} [/mm] divergiert
Beide Radien habe ich mit dem Quotientenkriterium bestimmt.
Was ich nicht verstehe ist, was die mit "Was passiert an den Rändern der jeweiligen Konvergenzbereiche?" genau meinen.
Beste Grüße
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5}{2^n}x^n[/mm]
> und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n+1}}{2^n}x^n[/mm]
>
> Was passiert an den Rändern der jeweiligen
> Konvergenzbereiche?
> Hallo,
> die Konvergenzradien habe ich bereits bestimmt. Bei
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5}{2^n}x^n[/mm] ist r=2. Daraus
> folgt, dass |x|<2 die Reihe konvergiert und für |x|>2 die
> Reihe divergiert.
>
> Bei [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n+1}}{2^n}x^n[/mm] ist r=
> [mm]\bruch{2}{3}.[/mm] Daraus folgt, dass |x|< [mm]\bruch{2}{3}[/mm] die
> Reihe konvergiert und für |x|> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] divergiert
>
> Beide Radien habe ich mit dem Quotientenkriterium
> bestimmt.
Die Formel, die du meinst, hat zwar ganz direkt mit dem Quotientenkriterium zu tun. Aber sie ist nicht das Quotientenkriterium, ich würde das also nicht so ausdrücken.
> Was ich nicht verstehe ist, was die mit "Was passiert an
> den Rändern der jeweiligen Konvergenzbereiche?" genau
> meinen.
An den Rändern muss man gesondert auf Konvergenz untersuchen, indem man die betreffenden x-Werte in die Reihe einsetzt. Denn der Konvergenzradius selbst sagt nichts über das Konvergenzverhalten an diesen Rändern aus. Wenn du also um x=0 entwickelt hast, dann müssen für die Werte [mm] x=\pm{r} [/mm] weitere Untersuchungen angestellt werden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 03.06.2014 | | Autor: | Hero991 |
Hallo und danke für die schnelle Antwort.
ich hoffe, ich habe dich richtig verstanden: Ich habe jetzt für die erste Reihe [mm] x=\pm [/mm] r gesetzt.
Für x=-2: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5*(-2)^n}{2^n}: [/mm] hierbei handelt es sich um eine alternierende Reihe. Die Folge [mm] (\bruch{n+5}{2^n}) [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge. Nach dem Leibnizkriterium konvergiert die Reihe.
x=2: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5*2^n}{2^n}: [/mm] Diese Reihe divergiert nach dem Trivialkriterium, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+5*2^n}{2^n}) \ne [/mm] 0
Für die andere Reihe würde ich dann genauso vorgehen.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 03.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ich hoffe, ich habe dich richtig verstanden: Ich habe
> jetzt für die erste Reihe [mm]x=\pm[/mm] r gesetzt.
Ist dir eigentlich die Vorgehensweise klar oder hast du das
einfach aus der Antwort von Diophant übernommen?
> Für x=-2: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5*(-2)^n}{2^n}:[/mm]
Du musst genauer sein! Die Potenzreihen beginnen bestimmt
bei Null, aber das spielt bezüglich Konvergenz keine Rolle.
Außerdem musst du mit der Klammerung aufpassen. Du meinst:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+5)*(-2)^n}{2^n}.
[/mm]
> hierbei handelt es sich um eine alternierende Reihe. Die
> Folge [mm](\bruch{n+5}{2^n})[/mm] ist eine monoton fallende
> Nullfolge. Nach dem Leibnizkriterium konvergiert die Reihe.
Nein. Es gilt:
[mm] (-2)^n=(-1)^n*2^n [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Jetzt wieder du.
> x=2: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+5*2^n}{2^n}:[/mm] Diese
> Reihe divergiert nach dem Trivialkriterium, da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+5*2^n}{2^n}) \ne[/mm] 0
Klammerung fehlt!
> Für die andere Reihe würde ich dann genauso vorgehen.
Mach mal. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 03.06.2014 | | Autor: | Hero991 |
> Ist dir eigentlich die Vorgehensweise klar oder hast du das
> einfach aus der Antwort von Diophant übernommen?
Ich glaube schon. Mit der weiteren Untersuchung überprüft man ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Der Konvergenzradius sagt nur aus, auf welchen Bereich man Untersuchen soll.
> Nein. Es gilt:
> [mm] (-2)^n=(-1)^n\cdot{}2^n
[/mm]
Okay, dass heißt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+5)\cdot{}(-2)^n}{2^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+5)\cdot{}(-1)^n * 2^n}{2^n} [/mm] die Reihe divergiert
Wenn man die Rechenfehler weg lässt, sollte die Vorgehensweise doch richtig sein, oder?
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Hallo Held,
> > Ist dir eigentlich die Vorgehensweise klar oder hast du das
> > einfach aus der Antwort von Diophant übernommen?
>
> Ich glaube schon. Mit der weiteren Untersuchung überprüft
> man ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Der
> Konvergenzradius sagt nur aus, auf welchen Bereich man
> Untersuchen soll.
>
> > Nein. Es gilt:
> > [mm](-2)^n=(-1)^n\cdot{}2^n[/mm]
>
> Okay, dass heißt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+5)\cdot{}(-2)^n}{2^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+5)\cdot{}(-1)^n * 2^n}{2^n}[/mm]
> die Reihe divergiert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, denn [mm]\left((-1)^n\cdot{}(n+5)\right)_{n\in\IN}[/mm] ist keine Nullfolge ...
>
>
> Wenn man die Rechenfehler weg lässt, sollte die
> Vorgehensweise doch richtig sein, oder?
Jo, einsetzen der Randpunkte und mit einem passenden Konvergenzkrit. verarzten ist der richtige Weg ...
Gruß
schachuzipus
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