Konvergenzradius Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mo 05.05.2014 | | Autor: | xyz3 |
| Aufgabe | Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten [mm] a_{j} [/mm] und den Entwicklungspunkt [mm] Z_{0} [/mm] für die Darstellung in der Form [mm] \summe_{j=0}^{\infty}a_{j}(z-z_{0})^j [/mm] an. Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für welche z [mm] \in \IR [/mm] die Reihen konvergieren:
a) [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-nz)^n(\bruch{z}{n})^{n+1} [/mm] |
Wie muss ich die Reihe umformen, damit ich auf die geforderte Form komme?
Ich komme nur auf [mm] \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
Servus!
> Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten
> [mm]a_{j}[/mm] und den Entwicklungspunkt [mm]Z_{0}[/mm] für die Darstellung
> in der Form [mm]\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}(z-z_{0})^j[/mm] an.
> welche z [mm]\in \IR[/mm] die Reihen konvergieren:
>
> a) [mm]\summe_{j=0}^{\infty}(-nz)^n(\bruch{z}{n})^{n+1}[/mm]
Ich nehme mal an, dass es [mm] \sum_{n=0}^\infty(-nz)^n(\bruch{z}{n})^{n+1} [/mm] heißen soll. (also anderer Summationsindex).
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für
> Wie muss ich die Reihe umformen, damit ich auf die
> geforderte Form komme?
> Ich komme nur auf
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1}[/mm]
Wie kommst du denn darauf? Und warum bist du dir unsicher mit der Lösung?
Eigentlich hast du schon die korrekte Form. Du siehst dass jeweils die geraden Exponenten von z gar nicht berücksichtigt werden. Du kannst also auch sagen, dass [mm] a_{2n}=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Nun ist eben nur noch interessant, was denn die [mm] a_{2n+1} [/mm] sind.
>
> Vielen Dank im Voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 05.05.2014 | | Autor: | xyz3 |
Wieso gilt [mm] a_{2n+1}=0 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Vergleichen wir mal die Reihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1}
[/mm]
mit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n
[/mm]
Werte das also in den Potenzen von $z$ aus.
Also, zunächst ist [mm] z_0=0, [/mm] wie man leicht sieht.
Jetzt die Auswertung:
[mm] z^1: a_1=\frac{(-1)^1}{1}=-1
[/mm]
[mm] z^2: a_2=0
[/mm]
[mm] z^3: a_3=\frac{(-1)^2}{2}=\frac{1}{2}
[/mm]
...
Sehe gerade, dass ich oben die Idizes vertauscht habe. Sorry. Ich ändere das noch fix.
Also alle [mm] a_{2n} [/mm] sind Null.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 05.05.2014 | | Autor: | xyz3 |
für [mm] a_{ 3} [/mm] komme ich auf [mm] \bruch{(-1)^3}{3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mo 05.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist das wirklich deine Reihe? für n=0 bzw j=0 ist ja ser Joeffizient nicht definiert? kann es sein, dass die Summe bei 1 anfängt?
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mo 05.05.2014 | | Autor: | xyz3 |
ja die summe beginnt bei j=1.
Ich verstehe aber immer noch nicht, was jetzt das [mm] z_{0} [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:03 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> ja die summe beginnt bei j=1.
> Ich verstehe aber immer noch nicht, was jetzt das [mm]z_{0}[/mm]
> ist?
Wir haben:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1} [/mm] $
Die allgemeine Form lautet:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n} [/mm] $
Ein Vergleich zeigt:
[mm] a_{2n}=0, a_{2n+1}=\bruch{(-1)^n}{n} [/mm] und [mm] z_0=0.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hi,
wenn du [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1} [/mm] hast, dann ist das doch das gleiche wie
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}(z+0)^{2n+1}
[/mm]
Also ist dein [mm] z_0=0.
[/mm]
|
|
|
|
