Konvergenzradius / Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 04.11.2013 | | Autor: | marti |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
Ich habe hier eine Potenzreihe wo ich den Konvergenzradius und den Mittelpunkt berechnen und den Konvergenzbereich zeichnen soll.
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{5^k+(-2)^k}{k^2}(z+(1+3j))^k
[/mm]
den Mittelpunkt zu berechnen war hier recht einfach, mit dem Radius hab ich jedoch so meine Probleme.
Mein Ansatz war das "Quotientenkriterium", bei dem ich aber nicht in der Lage bin den Grenzwert zu finden. Laut der Aufgabenstellung soll einer existieren.
Mein Ansatz:
[mm] r=\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{a_k}{a_{k+1}} \right| [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}\left| \bruch{\bruch{5^k+(-2)^k}{k^2}}{\bruch{5^{k+1}+(-2)^{k+1}}{(k+1)^2}} \right| [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}\left| \bruch{5^k+(-2)^k}{5^{k+1}+(-2)^{k+1}} * \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^2\right|=\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{5^k+2^k*(-1)^k}{5^{k}*5+(-2)*2^k*(-1)^{k}} * \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^2\right|
[/mm]
Das Ist der Punkt an dem ich nicht weiter weis. Ich habe keine Ahnung wie ich hier ein Grenzwert finden könnte...Ich habe schon gegoogelt wie ein wilder aber nichts gefunden was mir weiter hilft.
Vllt hab ich ja auch nurn Brett vorm kopp oder vllt doch Wurzelkriterium? Ich weis es nicht.
Über einen Denkanstoß wär ich auf jeden Fall dankbar...
Gruß Marvin
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute,
> Ich habe hier eine Potenzreihe wo ich den Konvergenzradius
> und den Mittelpunkt berechnen und den Konvergenzbereich
> zeichnen soll.
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{5^k+(-2)^k}{k^2}(z+(1+3j))^k[/mm]
>
> den Mittelpunkt zu berechnen war hier recht einfach, mit
> dem Radius hab ich jedoch so meine Probleme.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich find's schön, daß Du auch gleich wem geholfen hast.
> Mein Ansatz war das "Quotientenkriterium", bei dem ich aber
> nicht in der Lage bin den Grenzwert zu finden. Laut der
> Aufgabenstellung soll einer existieren.
>
> Mein Ansatz:
>
>
> [mm]r=\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{a_k}{a_{k+1}} \right|[/mm] =
> [mm]\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{\bruch{5^k+(-2)^k}{k^2}}{\bruch{5^{k+1}+(-2)^{k+1}}{(k+1)^2}} \right|[/mm]
> = [mm]\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{5^k+(-2)^k}{5^{k+1}+(-2)^{k+1}} * \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^2\right|=\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{5^k+2^k*(-1)^k}{5^{k}*5+(-2)*2^k*(-1)^{k}} * \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^2\right|[/mm]
=[mm]\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{5^k*(1+(\bruch{2}{5})^k*(-1)^k)}{5^k*(5+(-2)*(\bruch{2}{5})^k*(-1)^{k})} * \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^2\right|[/mm]
=[mm]\lim_{k \to \infty}\left| \bruch{1+(\bruch{2}{5})^k*(-1)^k}{5+(-2)*(\bruch{2}{5})^k*(-1)^{k}} * \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^2\right|[/mm]
Ich glaube, jetzt kannst Du den Grenzwert ausrechnen.
LG Angela
>
> Das Ist der Punkt an dem ich nicht weiter weis. Ich habe
> keine Ahnung wie ich hier ein Grenzwert finden
> könnte...Ich habe schon gegoogelt wie ein wilder aber
> nichts gefunden was mir weiter hilft.
> Vllt hab ich ja auch nurn Brett vorm kopp oder vllt doch
> Wurzelkriterium? Ich weis es nicht.
>
> Über einen Denkanstoß wär ich auf jeden Fall dankbar...
>
> Gruß Marvin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 05.11.2013 | | Autor: | marti |
Vielen Dank für die Schnelle Antwort...Ohmann da hätte man drauf kommen können...aber damit es nicht langweilig wird ;-P, direkt noch eine.
Für die folgende Reihe soll ebenfalls der konvergenzradius ermittelt werden:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}=\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}\left| \bruch{(2^n+(-2)^n)*2(n+1)}{2n*(2^{n+1}+(-2)^{n+1})}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\left| \left(1+\bruch{1}{n}\right)*\bruch{2^n+(-1)^n*2^n}{2^n*2+2^n*(-1)^n*(-2)}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\left| \left(1+\bruch{1}{n}\right)*\bruch{1}{2}*\bruch{1+(-1)^n}{1-(-1)^n}\right|
[/mm]
Soweit so gut aber hier gibt es doch keinen Grenzwert Oder? Höchstens 0 "und" unendlich?
Vielen dank im voraus.
Liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Schnelle Antwort...Ohmann da hätte
> man drauf kommen können...aber damit es nicht langweilig
> wird ;-P, direkt noch eine.
>
> Für die folgende Reihe soll ebenfalls der konvergenzradius
> ermittelt werden:
>
> [mm]$\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}[/mm]
Da fehlt doch was !
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}(z-z_0)^n[/mm]
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}\left| \bruch{(2^n+(-2)^n)*2(n+1)}{2n*(2^{n+1}+(-2)^{n+1})}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\left| \left(1+\bruch{1}{n}\right)*\bruch{2^n+(-1)^n*2^n}{2^n*2+2^n*(-1)^n*(-2)}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\left| \left(1+\bruch{1}{n}\right)*\bruch{1}{2}*\bruch{1+(-1)^n}{1-(-1)^n}\right|[/mm]
>
>
> Soweit so gut
nein. Gar nix ist gut !!
Du teils durch [mm] 2^{n+1}+(-2)^{n+1}. [/mm] Das ist aber saumäßig oft =0, und zwar für jedes gerade n .
Überlege Dir, dass gilt:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}(z-z_0)^n=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{4^k}{2k}(z-z_0)^k[/mm]
Edit: es lautet natürlich
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}(z-z_0)^n=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{4^k}{2k}(z-z_0)^{2k}[/mm]
FRED
> aber hier gibt es doch keinen Grenzwert Oder?
> Höchstens 0 "und" unendlich?
> Vielen dank im voraus.
>
> Liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 05.11.2013 | | Autor: | marti |
Wieso ist [mm] $2^n+(-2)^n=4^n$ [/mm] ???
Und wo ist der Fehler bei meinen umformungen???
darf ich das quotientenkriterium überhaupt benutzen? Laut Definition darf der koeffizient ja nur endlich mal null sein, was hier ja nicht zutrifft...
Gruß marti
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Hallo marti!
Betrachte mal gerade $n \ = \ 2*k$ bzw. ungerade $n \ = \ 2*k+1$ und fasse dementsprechend den Term [mm] $\bruch{2^n+(-2)^n}{2*n}$ [/mm] zusammen.
Und wie Fred schon andeutete: Dein Fehler liegt beim Kürzen durch einen Term, der auch den Wert 0 annimmt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Roadrunner:
In meiner obigen Antwort habe ich mich verschreiben. Richtig lautet es
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}(z-z_0)^n=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{4^k}{2k}(z-z_0)^{2k}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 05.11.2013 | | Autor: | marti |
Danke für die schnellen Antworten
Also so wie ich es verstanden habe, mache ich eine Fallunterscheidung:
Für gerade n bekomme ich [mm] $r=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Für ungerade n wird jedoch der zähler null?!
Folgt daraus das mein konvergenzradius nur für gerade zahlen bis 1/2 gilt??
Ich hoffe ich stell mich nicht zu blöd an...
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Hallo,
> Danke für die schnellen Antworten
>
> Also so wie ich es verstanden habe, mache ich eine
> Fallunterscheidung:
>
> Für gerade n bekomme ich [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm]
Wie bekommst du das?
Und jein ...
Wie interpretiert du das?
>
> Für ungerade n wird jedoch der zähler null?!
>
> Folgt daraus das mein konvergenzradius nur für gerade
> zahlen bis 1/2 gilt??
Was soll das denn heißen? Was soll dieser Satz bedeuten?
>
> Ich hoffe ich stell mich nicht zu blöd an...
Benutze doch simpel Cauchy-Hadamard.
Berechne [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n+(-2)^n}{2n}\right|}}[/mm]
Der Limes superior im Nenner ist also 2, damit ist $r=1/2$
Fazit: im Ergebnis (mit dem 1/2) hast du recht, aber das wirkt nicht so ganz sicher hergeleitet/begründet und interpretiert ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 05.11.2013 | | Autor: | marti |
Ich habe für n gerade also n=2k das quotintenkriterium angewendet dadurch erhalte ich r=1/2
Jedoch ist es für ungerade also n=2k+1 nicht anwendbar bzw r=0
Daher mein abenteuerlicher Satz...
Ich werde mir dein Vorschlag mal vornehmen. In der Vorlesung hatten Wir bis jetzt das mit dem Lim sup noch nicht aber ich versuch's mal. Laut Prof sei diese Aufgabe jedoch auch mit dem quotientekrit. Lösbar...
Gruß marti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe für n gerade also n=2k das quotintenkriterium
> angewendet dadurch erhalte ich r=1/2
>
> Jedoch ist es für ungerade also n=2k+1 nicht anwendbar bzw
> r=0
>
> Daher mein abenteuerlicher Satz...
>
> Ich werde mir dein Vorschlag mal vornehmen. In der
> Vorlesung hatten Wir bis jetzt das mit dem Lim sup noch
> nicht aber ich versuch's mal. Laut Prof sei diese Aufgabe
> jedoch auch mit dem quotientekrit. Lösbar...
Ja, warum machst Du das nicht mit dem , was ich sagte:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n+(-2)^n}{2n}(z-z_0)^n=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{4^k}{2k}(z-z_0)^{2k} [/mm] $
FRED
>
> Gruß marti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 05.11.2013 | | Autor: | marti |
Aus der Beziehung habe ich meine Lösung.
Aber dieser Ansatz gilt doch nur für gerade n oder?
Also für das n=2k eingesetzt...
Gruß marti
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Hallo nochmal,
> Aus der Beziehung habe ich meine Lösung.
> Aber dieser Ansatz gilt doch nur für gerade n oder?
> Also für das n=2k eingesetzt...
Sagen wir besser so:
Für ungerade n ist jeder Reihensummand =0, da dann [mm] $a_n=\frac{2^n+(-2)^n}{2n}=0$ [/mm] ist; nur die Summanden für gerade n spielen also mit ein.
Darum ist die direkte Anwendung des QK "schwierig" - durch 0 teilen sollte man vermeiden.
Darum kannst du die Reihe, wie Fred es gemacht hat, umschreiben.
Du hattest ja auch richtig $r=1/2$ heraus, aber der Rest gab mir leichte Zweifel, ob das alles so koscher war. Du hättest mal die Rechnung und deine Interpretation "genauer" aufschreiben sollen ..
>
> Gruß marti
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Di 05.11.2013 | | Autor: | marti |
Jetzt hat es klick gemacht!!
Vielen dank für eure Hilfe und vor allem für eure Geduld mit mir...
Liebe grüße marti
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