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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius Potenzreihe
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Konvergenzradius Potenzreihe: Aufgabenidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Mo 01.04.2013
Autor: gpw

Aufgabe
Bestimme den Konvergenzradius folgender Potenzreihe:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{\wurzel{n+2}}z^n [/mm]

Tag zusammen,
ich hab gerade die obige Aufgabe versucht zu lösen und bin wie folgt vorgegangen:

PR: R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right| [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{i^n * \wurzel{n+3}}{\wurzel{n+2} * i^{n+1}} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{i} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \wurzel{\bruch{n+3}{n+2}} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{i} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \wurzel{1 + \bruch{1}{n+2}} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{i} [/mm] = -i

Ist meine Vorgehensweise korrekt?
Danke und Gruß, gpw

[mm] \\Ich [/mm] habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mo 01.04.2013
Autor: fred97


> Bestimme den Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{\wurzel{n+2}}z^n[/mm]
>  Tag
> zusammen,
>  ich hab gerade die obige Aufgabe versucht zu lösen und
> bin wie folgt vorgegangen:
>  
> PR: R = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] R = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{i^n * \wurzel{n+3}}{\wurzel{n+2} * i^{n+1}} \right|[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{i} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \wurzel{\bruch{n+3}{n+2}} \right|[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{i} \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \wurzel{1 + \bruch{1}{n+2}} \right|[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{i}[/mm] = -i
>  
> Ist meine Vorgehensweise korrekt?

Nein. Der Konv.-Radius R ist eine reelle Zahl [mm] \ge [/mm] 0.


Wenn Du hier

[mm] \left| \bruch{i^n * \wurzel{n+3}}{\wurzel{n+2} * i^{n+1}} \right| [/mm]

die Zahl i aus dem Betrag herausziehst, dann mit |i|. Es ist |i|=1.

FRED


>  Danke und Gruß, gpw
>  
> [mm]\\Ich[/mm] habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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