Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 30.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Bestimme den Potenzradius von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^2z^n^{(n^2)} [/mm] |
Hallo,
Muss man das [mm] n^2 [/mm] von [mm] z^{(n^2)} [/mm] beachten, oder darf man einfach die Koeffizienten (ohne Substitution) in die entsprechende Formel (z.B. [mm] \rho [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|)} [/mm] einfach einsetzen?
Wenn ja, warum muss man nicht substituieren?
Also ist folgendes korrekt?
[mm] \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{n^2}{(n+1)^2}\right|=\left|\frac{n^2}{n^2+2n+1}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\right|
[/mm]
[mm] \rho [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left|\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\right|} [/mm] = 1
Gruß,
Rutzel
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> Bestimme den Potenzradius von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n^2z^n^{(n^2)}[/mm]
Hallo,
das ist ein Tippfehler, oder?
Das soll doch bestimmt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^2z^{(n^2)} [/mm] heißen.
Ich würde das so machen: [mm] z^{n^2}=(z^n)^n.
[/mm]
Substitution [mm] y:=z^n
[/mm]
Nun den Konvergenzradius bestimmen von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^2y^n.
[/mm]
Das hast Du ja gemacht.
Dein ergebnis: die Reihe konvergiert für |y|<1.
Also konvergiert die Reihe für [mm] |z^n|<1,
[/mm]
und hieraus kannst Du dann ausrechnen, wie |z| sein muß, nämlich kleiner als 1.
Daß der Konvergenzradius für die substituierte und nichtsubstituierte Reihe gleich ist, ist mehr oder weniger Zufall. Immer ist das nicht so!
Gruß v. Angela
[/mm] = [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|)}[/mm]
> einfach einsetzen?
>
> Wenn ja, warum muss man nicht substituieren?
>
> Also ist folgendes korrekt?
> [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\frac{n^2}{(n+1)^2}\right|=\left|\frac{n^2}{n^2+2n+1}\right|[/mm]
> = [mm]\left|\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\right|[/mm]
>
> [mm]\rho[/mm] = [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left|\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\right|}[/mm]
> = 1
>
> Gruß,
> Rutzel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 30.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Angela,
danke für Deine Antwort. Zwei Fragen hätte ich dann allerdings noch. Muss man auch den Laufindex der Summe anpassen? Was ist, falls durch die Substitution der Laufindex nichtmehr [mm] \in \IN [/mm] sein sollte?
Und dann habe ich hier noch eine Lösung zu einer Übungsaufgabe, hier ist eine ähnliche Situtation wie oben, hier wurde aber nicht substituiert. Ist das hier falsch, oder hat dies einen besonderen Grund?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Rutzel,
> Hallo Angela,
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> danke für Deine Antwort. Zwei Fragen hätte ich dann
> allerdings noch. Muss man auch den Laufindex der Summe
> anpassen?
Nein
> Was ist, falls durch die Substitution der
> Laufindex nichtmehr [mm]\in \IN[/mm] sein sollte?
Wie soll das passieren? Hast du ein Bsp., du substituiert doch nicht den Laufindex, sondern die "Potenzvariable"
>
> Und dann habe ich hier noch eine Lösung zu einer
> Übungsaufgabe, hier ist eine ähnliche Situtation wie oben,
> hier wurde aber nicht substituiert. Ist das hier falsch,
> oder hat dies einen besonderen Grund?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich halte das für "falsch" oder "kritisch"  , bzw. es wurde implizit [mm] $y:=z^2$ [/mm] substituiert, das Ergebnis Konvergenz für $|y|<1$, also auch [mm] $|z^2|<1$ [/mm] und damit $|z|<1$ macht hier keinen Unterschied für den Konvergenzradius
Eigentlich müsstest du ohne Substitution [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^{\red{2}}]{\vektor{n\\3}}$ [/mm] berechnen ...
LG
schachuzipus
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