Konvergenzradius 3 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey ihr lieben 
Leider habe ich nochmal ein paar Fragen bezüglich des Konvergenzradius. Ich würde mich über Hilfe freuen
Also:
1) habe ich richtig gerechnet wenn der Konvergenzradius der Reihe [mm] \sum_{n\ge0}\frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}*z^{n} [/mm] = 9/2 ist?
2)..und wenn der Konvergenzradius der Reihe [mm] \sum_{n\ge0}(n+1/n)^{n} *z^{n} [/mm] =1 ist?
3) hier komme ich leider nicht weiter: [mm] \sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}} [/mm]
mein Ansatz:
lim [mm] \frac{1}{n^{\frac{n^{0,5}}{n}}} [/mm] = lim [mm] \frac{1}{n^{n^{-0,5}}} [/mm] = 1
stimmt das? da [mm] n^{-0,5} [/mm] ja --> 0 geht für große n und [mm] n^0 [/mm] = 1 also 1/1=1
4) es geht um die Reihe [mm] \sum{n\ge 0} n!*z^{n} [/mm]
meine Idee(Formel von Euler)
lim [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] | = lim | [mm] \frac{n!}{(n+1)!} [/mm] | = lim [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und wegen [mm] r=\infty [/mm] konvergiert die Reihe in ganz [mm] \IR [/mm] stimmt das?
LG
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Hallo,
> Hey ihr lieben
> Leider habe ich nochmal ein paar Fragen bezüglich des
> Konvergenzradius. Ich würde mich über Hilfe freuen
> Also:
> 1) habe ich richtig gerechnet wenn der Konvergenzradius
> der Reihe [mm]\sum_{n\ge0}\frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}*z^{n}[/mm] = 9/2
Was meinst du mit "wenn" ??
Deine Frage ergibt keinen Sinn.
> ist?
Der Konvergenzradius der obigenReihe ist nicht [mm]\frac{9}{2}[/mm], sondern zu berechnen mittels [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{6^n}}}[/mm]
Rechne das mal hier vor!
> 2)..und wenn der Konvergenzradius der Reihe
> [mm]\sum_{n\ge0}(n+1/n)^{n} *z^{n}[/mm] =1 ist?
Nein, völlig falsch!
Rechne mit dem Ansatz, wie ich ihn oben bei 1) gesagt habe
> 3) hier komme ich leider nicht weiter:
> [mm]\sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}}[/mm]
> mein Ansatz:
> lim [mm]\frac{1}{n^{\frac{n^{0,5}}{n}}}[/mm] = lim[mm]\frac{1}{n^{n^{-0,5}}}[/mm] = 1
> stimmt das? da [mm]n^{-0,5}[/mm] ja --> 0 geht für große n und
> [mm]n^0[/mm] = 1 also 1/1=1
Es ist [mm]\left(n^{\sqrt n}\right)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge (divergiert gegen [mm]\infty[/mm]), damit ist die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}n^{\sqrt n}[/mm] gem. Trivialkriterium divergent ...
> 4) es geht um die Reihe [mm]\sum{n\ge 0} n!*z^{n}[/mm]
Du meinst [mm]\sum\limits_{n\ge 0}n!\cdot{}z^n[/mm]
> meine Idee(Formel von Euler)
Gute Idee!
> lim [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] |
Das ist gem, der Eulerformel nicht zu berechnen, vielmehr [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
> = lim | [mm]\frac{n!}{(n+1)!}[/mm] | =
> lim [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und wegen [mm]r=\infty[/mm] konvergiert
> die Reihe in ganz [mm]\IR[/mm] stimmt das?
Nein, umgekehrt, der K-Radius ist 0, also nur Konvergenz im Entwicklungspunkt [mm]z=0[/mm]
>
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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danke für deine Antwort
zu 1) habe ich bereits mit Hilfe dieses Kriterium berechnet. leider habe ich mich irgendwo verrechnet:
[mm] \frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}= (1/3)^{n} [/mm] + [mm] (2/3)^{n} [/mm] = [mm] 1^{n} [/mm]
lim [mm] \frac{1}{\wurzel[n]{1^{n}}}=1=r
[/mm]
stimmts so?
zu 2) hier habe ich auch das Kriterium benutzt: denn die n-te Wurzel von [mm] (1+1/n)^{n} [/mm] = 1+1/n
lim [mm] \frac{1}{1+(1/n)} [/mm] = [mm] \frac [/mm] {1}{1+0} = 1
wieso stimmt das nicht?
zu 3) was ist denn an meiner Rechnung falsch? ich soll ja den Konvergenzradius bestimmen. Wenn die Reihe divergiert besitzt sie ja keinen oder? Kann ich das mit einer der beiden Kriterien (Cauchy Hadamard, Euler) zeigen?
zu 4) du hast recht, stimmt
Danke dir
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Hallo nochmal,
> danke für deine Antwort
> zu 1) habe ich bereits mit Hilfe dieses Kriterium
> berechnet. leider habe ich mich irgendwo verrechnet:
> [mm]\frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}= (1/3)^{n}[/mm] + [mm](2/3)^{n}[/mm]
[mm]%255Cfrac%257B3%257D%257B6%257D%253D%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257D[/mm]
> = [mm]1^{n}[/mm]
Aua! Seit wann ist [mm]a^n+b^n=(a+b)^n[/mm]
> lim [mm]\frac{1}{\wurzel[n]{1^{n}}}=1=r[/mm]
> stimmts so?
Nein, grausamst!
> zu 2) hier habe ich auch das Kriterium benutzt: denn die
> n-te Wurzel von [mm](1+1/n)^{n}[/mm] = 1+1/n
Moment, oben steht aber [mm](\red n+1/n)^n[/mm] ...
> lim [mm]\frac{1}{1+(1/n)}[/mm] = [mm]\frac[/mm] {1}{1+0} = 1
> wieso stimmt das nicht?
So stimmt es, aber wie gesagt - oben steht eine andere Reihe.
>
> zu 3) was ist denn an meiner Rechnung falsch? ich soll ja
> den Konvergenzradius bestimmen. Wenn die Reihe divergiert
> besitzt sie ja keinen oder? Kann ich das mit einer der
> beiden Kriterien (Cauchy Hadamard, Euler) zeigen?
Da oben steht keine Potenzreihe, sondern [mm]\sum\limits_{n\ge 1}n^{\sqrt{n}}[/mm]
Wenn du die Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}n^{\sqrt n}\red{\cdot{}z^n}[/mm] meinst, ist das was ganz anderes.
Eine Potenzreihe konvergiert immer - zumindest in ihrem Entwicklungspunkt (dann hast du K-Radius 0)
Ich orakle, dass du die Potenzreihe meinst.
Deine Rechnung sieht soweit stimmig aus bis zu [mm]...n^{n^{-0,5}}[/mm]
Was du auch schreiben kannst als [mm]n^{\frac{1}{\sqrt n}}[/mm]
Die weitere Begründung für das Verhalten bei [mm]n\to\infty[/mm] ist aber suspekt ...
[mm]n^{-0,5}[/mm] geht zwar gegen 0, aber [mm]n^{n^{-0,5}}[/mm] gegen [mm]\infty^0[/mm]
Was soll das sein?
Immerhin hast du mit dem Ergebnis [mm]\rho=1[/mm] recht ...
Im Endeffekt geht es darum, [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{\sqrt n}}[/mm] zu bestimmen.
Mache das mal ganz sauber!
Dazu kann helfen: (a>0)
[mm]a^b=e^{b\ln(a)}[/mm] und die Stetigkeit der Exponentialfunktion
> zu 4) du hast recht, stimmt
>
> Danke dir
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:33 Do 09.01.2014 | | Autor: | rosapanther |
zu 1) du hast natürlich recht:
aber wie kann ich lim [mm] \frac{1}{\wurzel[n]{(1/3)^{n}+(2/3)^{n}}} [/mm] berechnen?
zu 3) l(genau, die Potenzreihe meinte ich, tut mir leid)
eider darf ich die Umformung mit dem Logarithmus nicht verwenden. Daher stehe ich gerade am Schlauch, wie ich ohne diese Umformung dann lim [mm] \frac{1}{n^\wurzel{n}} [/mm] weiter umforme
und eine Frage. wieso ist denn n^(-0,5) = [mm] \wurzel{n} [/mm] ?
LG
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Hallo nochmal,
> zu 1) du hast natürlich recht:
> aber wie kann ich lim
> [mm]\frac{1}{\wurzel[n]{(1/3)^{n}+(2/3)^{n}}}[/mm] berechnen?
Wieso solltest du das berechnen wollen?
Ich meine ja, man sollte [mm]\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{(1/3)^n+(1/2)^n}}[/mm] berechnen ...
Ich würde unter der Wurzel [mm](1/2)^n[/mm] ausklammern ...
Eine andere Möglichkeit, wäre es, das Einschließungslemma zu benutzen. Dazu müsstest du eine obere und eine untere Schranke zu [mm]\sqrt[n]{(1/3)^n+(1/2)^n}[/mm] finden, die beide gegen 1/2 konvergieren ...
>
> zu 3) l(genau, die Potenzreihe meinte ich, tut mir leid)
> eider darf ich die Umformung mit dem Logarithmus nicht
> verwenden. Daher stehe ich gerade am Schlauch, wie ich ohne
> diese Umformung dann lim [mm]\frac{1}{n^\wurzel{n}}[/mm]
Auch darum geht es nicht!? Habe ich das geschrieben?
Ich glaube nicht ...
> weiter
> umforme
> und eine Frage. wieso ist denn n^(-0,5) = [mm]\wurzel{n}[/mm] ?
Das ist es auch gar nicht. Habe ich das behauptet?
Ich dachte, ich schrieb [mm]1/\sqrt n[/mm]
Ohne die Umschreibung in den Exponentialausdruck sehe ich gerade auch keinen Weg - muss ich nochmal nachdenken ...
>
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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> Ich würde unter der Wurzel [mm](1/2)^n[/mm] ausklammern ...
aber wie soll ich das denn ausklammern? ich dachte für das addieren und subtrahieren unter Wurzeln gibt es keine Vereinfachungsgesetze?
>
> Das ist es auch gar nicht. Habe ich das behauptet?
>
> Ich dachte, ich schrieb [mm]1/\sqrt n[/mm]
>
> Ohne die Umschreibung in den Exponentialausdruck sehe ich
> gerade auch keinen Weg - muss ich nochmal nachdenken ...
>
>
hey du ist dir was eingefallen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es gilt:
[mm] \frac{1}{\wurzel[n]{(1/3)^{n}+(2/3)^{n}}}=\frac{1}{\wurzel[n]{(\frac{1}{3})^n(1+\frac{(\frac{2}{3})^n}{(\frac{1}{3})^n})}}=\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{1}{3})^n}}\frac{1}{\sqrt[n]{1+\frac{(\frac{2}{3})^n}{(\frac{1}{3})^n}}}=\frac{3}{\sqrt[n]{1+(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}})^n}}=\frac{3}{\sqrt[n]{1+2^n}}
[/mm]
Jetzt spielt du das Spiel nochmal 
DieAcht
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Danke, jetzt weiß ich auch was gemeint war. Also:
[mm] \frac{3}{\sqrt[n]{1+2^n}} [/mm] = [mm] \frac{3}{\sqrt[n]{2^n*(1+(1/2^{n}}} [/mm] = [mm] \frac{1,5}{\sqrt[n]{(1/2)^{n}}} [/mm] = 1,5/0,5 =3
also ist der Konvergenzradius =3?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Danke, jetzt weiß ich auch was gemeint war. Also:
>
> [mm]\frac{3}{\sqrt[n]{1+2^n}}[/mm] =
> [mm]\frac{3}{\sqrt[n]{2^n*(1+(1/2^{n}}}[/mm] =
> [mm]\frac{1,5}{\sqrt[n]{(1/2)^{n}}}[/mm] = 1,5/0,5 =3
Wo ist die $1$ hin? Außerdem meinst du den Grenzübergang.
> also ist der Konvergenzradius =3?
Außerdem habe ich deinen Fehler leider übernommen.
Zu berechnen ist:
[mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{(1/3)^n+(1/2)^n}}}
[/mm]
Kürze also folgenden Ausdruck:
[mm] \sqrt[n]{(1/3)^n+(1/2)^n}
[/mm]
DieAcht
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hey du
also wenn ich das kürze komme ich nie weiter als:
[mm] \frac{3}{\wurzel[n]{1+1,5^{n}}} [/mm] wenn ich hier weiter kürze komme ich im 2. Schritt wieder auf das gleiche Ergebniss..
kann man nun noch weiter umformen?
LG
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>
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{1+(\frac{2}{3})^n}}[/mm]
>
> Fällt dir dazu erstmal was ein?
dieser Teil geht doch gegen unendlich. und wenn dieser Teil gegen unendlich geht ist r dochh =0 oder?
oder bin ich auf dem Holzweg?:-(
Danke dir!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> > [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{1+(\frac{2}{3})^n}}[/mm]
> >
> > Fällt dir dazu erstmal was ein?
>
> dieser Teil geht doch gegen unendlich. und wenn dieser Teil
> gegen unendlich geht ist r dochh =0 oder?
> oder bin ich auf dem Holzweg?:-(
>
Du hast dir über diesen Grenzwert höchstens 60 Sekunden Gedanken gemacht.
Es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\not=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\not=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e
[/mm]
Wenn man zu einem Grenzwert keine Idee hat, dann setzt man für $n$ große Zahlen ein,
dann erkennt man, dass mit großer Wahrscheinlichkeit folgendes gilt:
[mm] \limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{1+(\frac{2}{3})^n}}=1
[/mm]
Mach dir mehr Gedanken!
> Danke dir!!
DieAcht
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entschuldige bitte :-/
[mm] (2/3)^{n} [/mm] geht natürlich für große n gegen 0 und [mm] \wurze[n]{1} [/mm] =1
richtig?
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Hallo Panther,
da fehlte der Wurzel ein "l"...
> entschuldige bitte :-/
> [mm](2/3)^{n}[/mm] geht natürlich für große n gegen 0 und
> [mm]\wurze[n]{1}[/mm] =1
>
> richtig?
Ja, klar. Inhaltlich jedenfalls. Von der Ausdrucksweise allerdings nicht. Der Grenzwert des ganzen Terms für [mm] n\to\infty [/mm] ist 1. Denn [mm] \wurzel[n]{1} [/mm] wird da eben nie stehen, aber etwas, das beliebig nah dran ist.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> entschuldige bitte :-/
> [mm](2/3)^{n}[/mm] geht natürlich für große n gegen 0 und
> [mm]\wurzel[n]{1}[/mm] =1
>
> richtig?
Das Ergebnis ist richtig, aber deine Argumentation ist falsch.
Du darfst den Limes nicht reinziehen.
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Sa 11.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Zu zeigen:
[mm] \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{1+(\frac{2}{3})^n}}=1
[/mm]
Es gilt für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] 0\le(\frac{2}{3})^n\le1
[/mm]
[mm] \Rightarrow1\le1+(\frac{2}{3})^n\le2
[/mm]
[mm] \Rightarrow\sqrt[n]{1}\le\sqrt[n]{1+(\frac{2}{3})^n}\le\sqrt[n]{2}
[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm] \sqrt[n]{1}\longrightarrow1,n\to\infty
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{2}\longrightarrow1,n\to\infty
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{1+(\frac{2}{3})^n}}=1
[/mm]
Allgemein könnte man folgendes machen:
Für alle [mm] a,b\in\IR_{>0} [/mm] und gilt:
[mm] \sqrt[n]{a^n+b^n}=\sqrt[n]{a^n(1+(\frac{b}{a})^n)}=a\sqrt[n]{1+(\frac{b}{a})^n}
[/mm]
Dann die Fälle für [mm] (\frac{b}{a})^n [/mm] abarbeiten und eine Formel erschaffen, die den Grenzwert immer angibt.
Ich denke aber, dass es sinnvoller ist, sich den Grenzwert immer wieder selbst klar zu machen, da es, wie ich finde, sehr speziell ist.
Gruß
DieAcht
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danke für deine Mühen
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